从线性到非线性模型

1、线性回归，岭回归，Lasso回归，局部加权线性回归

2、logistic回归，softmax回归，最大熵模型

3、广义线性模型

4、Fisher线性判别和线性感知机

5、三层神经网络

6、支持向量机

四、Fisher线性判别与线性感知机

​ Fisher线性判别和线性感知机都是针对分类任务，尤其是二分类，二者的共同之处在于都是线性分类器，不同之处在于构建分类器的思想，但是二者有异曲同工之妙。同时二者又可以与logistic回归进行对比，当然logistic回归的理论基础是概率。

一、Fisher线性判别

​ Fisher线性判别是一种线性分类思想，其核心是找一个投影方向将d维数据投影（降维）到一维，使得类内紧致，类间分离。在确定投影方向之后，决策分类器还并未完成，我们还需要分界点来划分不同的类。一般而言很少用Fisher线性判别作为分类模型，更多是借鉴Fisher线性判别的思想来指导降维。

以两类问题来分析：

由类内紧致，类间分离准则确定投影方向，我们可以定义如下类内距离和类间距离

其中m~i${\tilde{m}}_i$表示降维后的类中心，mi$m_i$表示原始空间的类中心。

类内距离：

其中Sw=∑i=1,2xj∈Xi(xj−mi)2$S_w=\sum _{x_j\in X_i}^{i=1,2}{\left(x_j-m_i\right)}^2$表示每类样本在原始空间的一个类内距离。

类间距离：

其中Sb=∑i=1,2xj∈Xi(m1−m2)2$S_b=\sum _{x_j\in X_i}^{i=1,2}{\left(m_1-m_2\right)}^2$表示每类样本在原始空间的一个类间距离。

所以为了使类内紧致，类间分离，可以最大化如下目标函数：

等价于max(wTSbw)s.t.wTSww=c$max(w^T{S}_{b}w)s.t.w^T{S}_{w}w=c$,由拉格朗日乘子法有

可以看出目标函数是关于w的二次凸规划，极值在导数为0处取到，对上式求导有Sbw∗−λSww∗=0$S_b{w}^{\ast }-\lambda S_w{w}^{\ast }=0$,如果Sw$S_w$可逆的话，即

也就是说w$w$是(Sb−λSw)$(S_b-\lambda S_w)$的特征向量。将Sb=(m1−m2)2$S_b=(m_1-m_2{)}^2$带入有

又(m1−mT2)w∗$(m_1-m_2^T)w^{\ast }$是一个标量，所以w∗=S−1w(m1−m2)$w^{\ast }=S_w^{-1}(m_1-m_2)$.

​ 虽然我们确定了投影方向，但是真正的决策函数还是未能确定，一般最简单的做法是直接在一维上找一个阈值直接将两类分开，但是如何确定阈值还需要定义分类的损失函数（类一致性准则）。

比如我们直接采用0-1损失，那么决策界则尽可能多的正确分类样本，另外如果我们采用Logistic回归的对数损失，那么我们的决策边界就不一样。从这个角度来看，线性判别分析和Logistic回归都是将数据映射到一维来进行分类，有没有不用降维直接进行分类的方法，下面就是感知机的分类思想。

二、线性感知机

​ 线性感知机同样是基于线性分类思想，其核心是直接在高维空间找到一个超平面将两类样本尽可能的分开。即，定义点到超平面的距离，在保证线性可分的基础上最小化点到超平面的距离（等价于使得最难分的样本离超平面距离尽可能的大），但由于没有线性可分前提，所以感知机的目标函数是最小化错分样本到超平面的距离之和（线性损失），而分类正确的样本无损失。

首先定义线性超平面：

点到超平面的距离为1||w||2(w⋅xi+b)$\frac{1}{||w|{|}^2}(w\cdot x_i+b)$，即错分的样本到超平面的距离一定为负：

感知机只考虑分类错误的样本，目标函数为最小化错分样本到超平面的距离之和：

其中M为错分样本集合。因为感知机优化的目标是针对错误样本集来不断的调整参数，所以在使用梯度下降算法的时候梯度的计算只依赖于错分的样本。

找到超平面之后我们就可以基于超平面定义决策函数为

再回过头看损失函数，我们发现感知机的损失与Logistic回归的对数损失不一样，感知机采用的损失直接是错误样本的f(x)$f(x)$值，而Logistic回归的损失是所有样本的对数损失（当然Logistic回归的f(x)=sigmoid(x)$f(x)=sigmoid(x)$）。

感知机的对偶形式

感知机的对偶形式是logistic回归一致，同SVM对偶形式推导一致

​ 可以说神经网络和SVM都是线性感知机的一种延伸，神经网络是引入非线性**函数，而SVM则是使用核函数，SVM同时提出了软间隔分类。虽然说神经网络是从感知机过来的，但是神经网络引入非线性**函数后，不仅失去了解释性，也使其与感知机渐行渐远，笔者倒是觉得SVM更像感知机，不仅提升了精度，同时保留了很好的解释性。