对傅里叶级数和傅里叶变换的理解

前言

以前学信号、高数、复变函数接触过傅里叶级数和傅里叶变换，现在整理一下目前自己对傅里叶级数、傅立叶变换浅薄的理解，本文参考了李永乐老师的科普和一些知乎上的文章，如有冒犯之处请联系我。如有错误的地方和不足之处，希望大家多多指正。

傅里叶级数与傅里叶变换

1807年，法国数学家傅立叶提出了一个有趣但具有争议性的论点：任何周期信号可以由一系列成谐波关系的正弦曲线来表示。我们知道：简单来说，若两个信号的周期之比为有理数，那么这两个信号的和仍然是周期信号。这就好像是通过可乐的配方制作出了一杯可乐（即一组正弦波组成了一个周期信号），而傅立叶则想通过可乐去找到他所含有的每一个配方成分（即从一个周期信号去分解出组合成他的正弦波）。但是这个观点遭到了拉格朗日的强烈反对，因为他认为三角级数的适用范围极其有限，不可能把例如导数不连续的信号表示出来（事实确实如此，在用三角级数近似倒数不连续信号时，在不可导点会出现吉布斯现象，也就是我们实验时示波器观察信号会发现一个跳跃）。

而直到1829年，狄利克雷在给出了若干条件的前提下，证明了傅立叶的观点的成立。于是我们知道了用一组标准正交基1、sin(nwt)、cos(nwt) 的线性组合可以表示任意的周期信号（可以类比于空间中一组标准正交基可以表示空间中的任意一个向量），如图用正弦波可以去近似矩形波。从时域上看，也就是左边看，可以看出一个叠加出来的矩形波，而从频域上看，也就是从右边看，可以看出他是不同频率信号的叠加。（也就是我们画的频谱图）。每一个频率还对应一个相位。所以，时域上的信号可以分解成多个信号。而知道了频率、相位和振幅三个信息也能够将频域信号转换成时域信号。

但是，傅立叶级数只能解决周期信号的分解，现实情况下，我们常常遇见的是一个非周期的信号。那么如何分解一个非周期的信号？首先非周期信号只要将它看做一个周期信号，只不过他的周期趋向于∞，这时候频谱图会从离散谱变成连续谱。其次，欧拉公式告诉我们cosθ+isinθ=exp(iθ)，其中θ=wt，它代表了一种正交基的一个组合。那么比如我们现在要找看某个信号是否含有频率为w的正弦信号，只要用这个信号和exp(-jwt)积分，若不含有w成分则为0，不为0则表示含有w的成分。这样就实现了把一个非周期的信号拆分成很多个的正弦信号。