第四章 时变电磁场

波动方程

问题的提出：

麦克斯韦方程—一阶矢量微分方程组，描述电场和磁场间的相互作用关系
波动方程—二阶矢量微分方程
麦克斯韦方程组===>波动方程

无源区的波动方程

在无源空间中，设媒质是线形、各向同性且无损耗的均匀媒质，则有
$\nabla^2\vec{E}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=0$∇2E−με∂t2∂2E​=0
$\nabla^2\vec{H}-\mu\varepsilon\frac{\partial^2 \vec{H}}{\partial t^2}=0$∇2H−με∂t2∂2H​=0
电磁波动方程

电磁场的位函数

引入位函数来描述时变电磁场，使一些问题的分析得到简化

位函数的定义

$\nabla \cdot \vec{B}=0$∇⋅B=0 => $\vec{B}=\nabla \times\vec{A}$B=∇×A => $\vec{A}$A定义为矢量位
$\nabla\times\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$∇×E=−∂t∂B​=>$\nabla\times(\vec{E}+\frac{\partial\vec{A}}{\partial t})=0$∇×(E+∂t∂A​)=0 => $\vec{E}+\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=-\nabla\varphi$E+∂t∂A​=−∇φ为标量位
$\vec{E}=-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}-\nabla \varphi$E=−∂t∂A​−∇φ

位函数的不确定性

满足下列变换关系的两组位函数($\vec{A}$A、$\varphi$φ)和($\vec{A}\prime$A′、$\varphi\prime$φ′)能描述同一个电磁场问题。
$\begin{cases} {\vec{A}\prime=\vec{A}+\nabla\psi}\\ {\varphi\prime=\varphi-\frac{\partial \psi}{\partial t}} \end{cases}（\psi为任意可微函数）${A′=A+∇ψφ′=φ−∂t∂ψ​​（ψ为任意可微函数）

位函数的规范条件

造成位函数的不确定性的原因就是没有规定$\vec{A}$A的散度。利用位函数的不确定性，可通过规定$\vec{A}$A的散度使位函数满足的方程得以简化。
洛仑兹条件：
$\nabla\cdot\vec{A}+\mu\varepsilon\frac{\partial \varphi}{\partial t}=0$∇⋅A+με∂t∂φ​=0
库仑条件
$\nabla\cdot\vec{A}=0$∇⋅A=0

位函数的微分方程

电磁能量守恒定理

唯一性定理

时谐电磁场