二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）

二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，积分区域如何确定（上）

因为关于二维随机变量主题内容重要，难度大，例题多，最主要是积分区间的确定是难点，同时关联卷积概念，求二维函数Z=g(X,Y)型，用卷积公式求概率密度，卷积公式容易，积分区间难以确定，所以分成上中下三篇博客写。

一。问题的引入

有一大群人，令X和Y分别表示一个人的年龄和体重，Z表示该人的血压，并且已知Z与X,Y的关系为 Z=g(X,Y), 如何通过X,Y的分布确定Z的分布？

二。公式

Fz(z)=P(Z⩽z)=∫∫g(x,y)⩽zf(x,y)dxdy$F_z(z)=P(Z⩽z)=\int {\int }_{g(x,y)⩽z}f(x,y)dxdy$

特殊类型：Z=X+Y，怎样确定Z的分布？如何求Z的概率密度？
fz(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dx=∫∞−∞f(z−y,y)dy$f_z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,z-x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(z-y,y)dy$

当X与Y相互独立时，
就得到所谓的卷积公式$卷积公式$
fz(z)=fx∗fy=∫∞−∞fX(x)fY(z−x)dx=∫∞−∞fX(z−y)fY(y)dy$f_z(z)=f_x\ast f_y={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(x)f_Y(z-x)dx={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_X(z-y)f_Y(y)dy$
这就是所谓的卷积积分

三。已知f(x,y)，如何计算Z=X+Y型的概率密度fz(z)$f_z(z)$ 及概率分布 Fz(z)$F_z(z)$？

根据理解或者根据上面的公式，我们知道 fz(z)$f_z(z)$ 是将f(x,y)求一次积分，Fz(z)$F_z(z)$是求二次积分，难点问题在于如何确定积分区间？需要分成几个区间？$如何确定积分区间？需要分成几个区间？$

对于Z=X+Y型的关系，假设对x求一次积分，得到fz(z)$f_z(z)$
表示成

fz(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dx$f_z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,z-x)dx$

，那么我们要画出一个 x–z的坐标，确定积分区间

1）积分区间的左右两边，由x的上下区间决定
假设 x的区间在[a,b]之间, a⩽x⩽b$a⩽x⩽b$
那么积分的左右边界就是a到b
2）根据关系式
z=x+y， 由于坐标系是x–z的关系，那么y就是变常量
z的最小值：zmin=x+ymin$z_{min}=x+y_{min}$
z的最大值：zmax=x+ymax$z_{max}=x+y_{max}$
积分的上下边界就是 zmin$z_{min}$到 zmax$z_{max}$

因为我们讨论的f_{z}(z)是按照x积分：
fz(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dx$f_z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,z-x)dx$

所以按照x积分，积分区间就要分成三段：红色区间，蓝色区间，绿色区间

1)红色区间$红色区间$，
Xmin+Ymin⩽z<Xmin+Ymax$X_{min}+Y_{min}⩽z<X_{min}+Y_{max}$
x积分区间= a 到 Z-Ymin
∫z−yminadx${\int }_a^{z-y_{min}}dx$

2)蓝色区间$蓝色区间$，
Xmin+Ymax⩽z<Xmax+Ymin$X_{min}+Y_{max}⩽z<X_{max}+Y_{min}$
x积分区间= Z-Ymax 到 Z-Ymin
∫z−yminz−ymaxdx${\int }_{z-y_{max}}^{z-y_{min}}dx$

3)绿色区间$绿色区间$，
Xmax+Ymin⩽z<Xmax+Ymax$X_{max}+Y_{min}⩽z<X_{max}+Y_{max}$

x积分区间= Z-Ymax 到 1
∫bz−ymaxdx${\int }_{z-y_{max}}^{b}dx$

当x的a,b左右对称时，中间蓝色区间没有，只有两个积分区间：
红色区间$红色区间$和 绿色区间$绿色区间$

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【例一】设(X,Y)的联合密度函数为

(1)问X,Y是否独立？
(2)求Z=2X+Y的密度函数fz(z)$f_z(z)$和分布函数Fz(z)$F_z(z)$
(3)求P{Z>3}

【解】
(1) 问X,Y是否独立？
X,Y独立的条件 f(x,y)=fx(x)∗fy(y)$f(x,y)=f_x(x)\ast f_y(y)$
fX(x)=∫∞−∞f(x,y)dy$f_X(x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dy$
fX(x)=∫∞0e−ydy=−e−y|∞0=e−y|0∞=1$f_X(x)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y}dy=-e^{-y}{|}_0^{\mathrm{\infty }}=e^{-y}{|}_{\mathrm{\infty }}^0=1$

fY(y)=∫∞−∞f(x,y)dx$f_Y(y)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,y)dx$
fY(y)=∫∞0e−ydx=∫10e−ydx=e−y∗(x)|10=e−y$f_Y(y)={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-y}dx={\int }_0^1{e}^{-y}dx=e^{-y}\ast (x){|}_0^1=e^{-y}$
所以 f(x,y)=fX(x)∗fY(y)$f(x,y)=f_X(x)\ast f_Y(y)$

(2)求Z=2X+Y的密度函数fz(z)$f_z(z)$和分布函数Fz(z)$F_z(z)$

(2.1)先求密度函数fz(z)$f_z(z)$

Z=g(X,Y)=2X+Y

求fz(z)$f_z(z)$可以利用卷积公式
fZ(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dx$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,z-x)dx$

画一个 x-z 的坐标系

Z方向下限：
Zmin=g(X,Ymin)=2X+Ymin$Z_{min}=g(X,Y_{min})=2X+Y_{min}$ = 2X+0

Z方向上限：
Zmin=g(X,Ymin)=2X+Ymax=2X+∞=∞$Z_{min}=g(X,Y_{min})=2X+Y_{max}=2X+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$

所以，对公式 fZ(z)=∫∞−∞f(x,z−x)dx$f_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f(x,z-x)dx$

当 0⩽z<2:0⩽x<z2$0⩽z<2:0⩽x<\frac{z}{2}$
fZ(z)=∫z20f(x,z−x)dx=∫z20e−(z−2x)dx$f_Z(z)={\int }_0^{\frac{z}{2}}f(x,z-x)dx={\int }_0^{\frac{z}{2}}{e}^{-(z-2x)}dx$
∫z20e2x−zdx(设t=2x−z,dt=2dx)${\int }_0^{\frac{z}{2}}{e}^{2x-z}dx(设t=2x-z,dt=2dx)$
=12e2x−z|z20$\frac{1}{2}{e}^{2x-z}{|}_0^{\frac{z}{2}}$
=12(1−e−z)$\frac{1}{2}(1-e^{-z})$

当 2⩽z<∞:0⩽x⩽1$2⩽z<\mathrm{\infty }:0⩽x⩽1$
fZ(z)=∫10f(x,z−x)dx=∫10e−(z−2x)dx$f_Z(z)={\int }_0^{1}f(x,z-x)dx={\int }_0^1{e}^{-(z-2x)}dx$
∫10e2x−zdx(设t=2x−z,dt=2dx)${\int }_0^1{e}^{2x-z}dx(设t=2x-z,dt=2dx)$
=12e2x−z|10$\frac{1}{2}{e}^{2x-z}{|}_0^1$
=12(e2−1)e−z$\frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z}$

所以

(2.2) 求分布函数Fz(z)$F_z(z)$

由分布函数Fz(z)$F_z(z)$的定义可以知道，就是对z再积分
Fz(z)$F_z(z)$与相应的概率密度函数fZ(z)$f_Z(z)$的积分区间的关系是怎样呢？
概率密度函数fZ(z)$f_Z(z)$是对横坐标x积分，分布函数Fz(z)$F_z(z)$是对纵坐标z进行积分。通过z进行分区段，Fz(z)$F_z(z)$与fz(z)$f_z(z)$是一样的，但是Fz(z)$F_z(z)$是把fz(z)$f_z(z)$再次对z求积分，z的上下限的取值与z的分段不完全一样。

对z积分上下限取值原则：z的取值一直是从小到大方向，下限固定，上限活动，上限就是z$对z积分上下限取值原则：z的取值一直是从小到大方向，下限固定，上限活动，上限就是z$

FZ(z)=∫∞−∞fZ(z)dz$F_Z(z)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_Z(z)dz$
根据fZ(z)$f_Z(z)$的分段，分段再积分
所以，
z<0 时，F_{Z}(z)=0
当 0⩽z<2$0⩽z<2$ : z的积分区间：下限固定，下限是0，上限活动，上限是z$下限固定，下限是0，上限活动，上限是z$，所以就是 在0⩽z<z$0⩽z<z$
FZ(z)=∫z0fZ(z)dz=∫z012(1−e−z)dz$F_Z(z)={\int }_0^z{f}_Z(z)dz={\int }_0^z\frac{1}{2}(1-e^{-z})dz$
=12(z+e−z)|z0=12(z−1+e−z)$\frac{1}{2}(z+e^{-z}){|}_0^z=\frac{1}{2}(z-1+e^{-z})$

当 2⩽z<∞$2⩽z<\mathrm{\infty }$ : 注意分布函数与密度函数的区别，分布函数是对z的累加，要把前面的所有区间全部累加起来$要把前面的所有区间全部累加起来$
当 2⩽z<∞$2⩽z<\mathrm{\infty }$：z的积分区间为前面一段区间： 0到2，再加上当前区间，下限固定，下限就是2，上限活动，上限就是z$下限固定，下限就是2，上限活动，上限就是z$

FZ(z)=∫20fZ(z)dz+∫z2fZ(z)dz=$F_Z(z)={\int }_0^2{f}_Z(z)dz+{\int }_2^z{f}_Z(z)dz=$
=∫2012(1−e−z)dz+∫z212(e2−1)e−zdz$={\int }_0^2\frac{1}{2}(1-e^{-z})dz+{\int }_2^z\frac{1}{2}(e^2-1)e^{-z}dz$
=1+12(1−e2)e−z$=1+\frac{1}{2}(1-e^2)e^{-z}$

所以

(3)求P{Z>3}

求P(f(Z))总是跟分布函数FZ(z)$F_Z(z)$联系在一起的。根据概率分布函数的定义 FZ(z)$F_Z(z)$指的是从−∞$-\mathrm{\infty }$到当前z的累加，运算值和查表值都只是 −∞$-\mathrm{\infty }$到某个当前z值得积分，即，积分的结果表示的是 P(Z⩽z)$P(Z⩽z)$的值

所以
P(Z>3)=1−P(Z⩽3)=1−FZ(z)(z=3)$P(Z>3)=1-P(Z⩽3)=1-F_Z(z)(z=3)$

根据上面的积分结果
FZ(3)=(1+12(1−e2)e−z)|z=3$F_Z(3)=(1+\frac{1}{2}(1-e^2)e^{-z}){|}_{z=3}$

P(Z>3)=1−(1+12(1−e2))e−3$P(Z>3)=1-(1+\frac{1}{2}(1-e^2))e^{-3}$
=12(e2−1)e−3≈0.1591$=\frac{1}{2}(e^2-1)e^{-3}\approx 0.1591$

参考书目：

张天德，叶宏 《星火燎原·概率论与数理统计辅导及习题精解》（浙大·第4版）第三章