【Linear Algebra 线性代数】5、转置-置换-向量空间R

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个人笔记

转置-置换

回顾一下上一节内容：
如果不考虑行变换，相比于

我们更偏向于

如果需要行变换，我们就需要加上置换矩阵

置换矩阵的性质
置换矩阵皆可逆且

置换矩阵的数量为n!。

下面我们讨论一下转置矩阵。

转置矩阵(Transpose Matrix)

转置矩阵即将原矩阵的行坐标和列坐标互换后得到的矩阵：

举个栗子：
一个3x2的矩阵

em…如果将原矩阵乘以它的转置会得到什么结果？

如果你有动脑计算的话相信计算到一半的时候你已经发现规律了吧？
原矩阵的第i行 乘 转置矩阵的第j列
等同于
原矩阵的第j行 乘 转置矩阵的第i列
即

得到的结果是一个对称矩阵(Symmetric Matrix)，而对称矩阵有一个性质，即对称矩阵B

根据该性质有：

因此对矩阵A乘其转置矩阵得到的结果恒为对称矩阵。
至此，矩阵相关的基础内容已经介绍完了，接下来要进入Linear Algebra的核心内容了~

向量空间R

什么是向量空间？举个栗子：
二维空间R^2（two-dimension，由二维向量组成，二维向量的值都属于实数集R，(3,2),(0,0),(π,e)…），也可以将其想象成一个二维平面，即直角空间坐标系(笛卡尔坐标系)。
三维空间R^3（three-dimension，由三维向量组成…）
…N维空间等等。

这些向量空间都遵循一个规则，它们都对数乘和加法两种运算封闭。
换句话说，即对线性组合封闭。
举个栗子：
在直角坐标系中，我们可以称第一象限为一个向量空间吗？

① 对第一象限内的任意两个向量相加，结果仍处于第一象限中。
② 对第一象限内任意向量进行数乘(乘以一个任意数)，结果不一定处于第一象限中。例如：

对向量a乘以-2,结果在第三象限中，因此我们说第一象限不是空间，向量空间必须对数乘和加法两种运算封闭。

子空间

在一个空间内使用其向量进行数乘和加法运算，如果结果仍在某空间Rn中，则称该空间为空间Rn的子空间。

沿用刚刚的例子，以及空间的定义。在R^2中是否存在子空间，它的子空间是怎样的？
可以想到，在R^2空间中，对任意向量进行数乘(乘任意数)运算后，它的结果都在一条直线l上，同时，直线l上任意向量之间进行加法运算，结果仍在直线l上，因此，可以认为该直线为R^2空间的一个子空间。

那么，是否任意一条直线都是R^2空间的子空间呢？

否，如图中的直线m，对直线m上任意向量乘0结果不在直线m上，即不对加法封闭，因此直线m不是R^2的子空间。
这说明了一个重要的性质，必须过原点。

汇总一下，R^2向量空间下的所有子空间：
① R^2本身 <= 最大子空间；
② 任意过原点(0,0)的直线 <= 注意，这里的直线不等同于一维空间，尽管他们看起来很相似；
③ 0 <= 最小子空间。

拓展到R^3空间看看，
R^3向量空间下的所有子空间：
① R^3本身 <= 最大子空间；
② 任意过原点(0,0,0)的直线；
③ 任意过原点(0,0,0)的平面；
④ 0 <= 最小子空间。

如何从矩阵中构造子空间？
举个栗子：

我们可以通过列向量构造，why？
矩阵A中各列属于R^3空间，矩阵A中各列的所有线性组合可以构成一个子空间，我们称之为列空间，用C(A)表示。
用图像来表示的话，列空间就是一个过原点的平面，当然，如果两列共线的话，那么列空间将会是一条过原点的直线。

我们给出假设：
直线L和平面M均为R^3的子空间，那么M∪L，M和L的并集是否为R^3的子空间？
==============================思考线===============================
显然不能，为什么？因为M∪L对加法不封闭，任取直线L上1个向量和平面M上1个向量，这两个向量加法运算的结果不在M∪L中。

直线L和平面M均为R^3的子空间，那么M∩L，M和L的交集是否为R^3的子空间？
==============================思考线===============================
答案是肯定的，那么推广到任意情况呢？R^3的子空间S和T的交集是否仍为R^3的子空间？
答案也是肯定的，从S∩T中任取两个向量，由于它们即属于S也属于T，同时S和T为R^3的子空间，因此必定对线性组合封闭，故这两个向量的线性组合仍在S∩T中，故S∩T仍为R^3的子空间。

谨记：空间必须满足数乘和加法封闭。

下一节将讨论列空间和零空间~