麻省理工大学线性代数导论笔记 - Lecture 5 转置-置换-向量空间R

学习视频来源：麻省理工公开课_线性代数导论 讲师：Gilbert Strang

http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html

Lecture 5 置换-转置-向量空间

Permutation and Transpose 置换和转置

接着上节课的内容，我们来更详细地了解下置换和转置。

• Permutation 置换

  置换矩阵记作P$P$，是行重新排列了的单位矩阵，用来完成行互换。当求解A=LU$A=LU$存在主元为 0 的情况时，方程式变为PA=LU$PA=LU$。对任意可逆矩阵A$A$，都有这种形式。

  所有n×n$n\times n$置换矩阵的个数为n!$n!$ （n factorial n的阶乘），且所有的置换矩阵可逆P−1=PT$P^{-1}=P^T$。

• Transpose 转置

  已知一个3×2$3\times 2$的矩阵A=⎛⎝⎜⎜124331⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 3\\ 4& 1\end{array}\right)$，则AT=(132341)$A^T=\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 3& 3& 1\end{array}\right)$。用符号表示为ATi,j=Aj,i$A_{i,j}^T=A_{j,i}$。

  若ATi,j=Ai,j$A_{i,j}^T=A_{i,j}$，则A$A$为symmetric matrix 对称矩阵（方阵）。

  那么怎样通过rectangular matrix 长方阵R$R$得到对称矩阵呢？我们只需要将R$R$和其转置RT$R^T$相乘。先看上面的特例：
  AAT=⎛⎝⎜⎜124331⎞⎠⎟⎟(132341)=⎛⎝⎜⎜1011711131171117⎞⎠⎟⎟$A{A}^T=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 3\\ 4& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 4\\ 3& 3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}10& 11& 7\\ 11& 13& 11\\ 7& 11& 17\end{array}\right)$

  再用符号进行推算：(RTR)T=RTR$(R^{T}R{)}^T=R^{T}R$

Vector Space 向量空间 The beginning of real Linear Algebra

满足一定规则的空间才可以被称为向量空间，必须能进行 add 加法和 multiply 数乘运算，必须能进行线性组合。

• 二维real vectors 实向量的向量空间ℝ2${\mathbb{R}}^2$

  ℝ2${\mathbb{R}}^2$里可能有(32)$\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)$，(00)$\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$（零向量是所有向量里最重要的），(πe)$\left(\begin{array}{c}\pi \\ e\end{array}\right)$。我们可以将它们相加，点乘，其计算结果仍在ℝ2${\mathbb{R}}^2$里。画图，横坐标表示第一个分量，纵坐标表示第二个分量。
  
  我们可以把ℝ2${\mathbb{R}}^2$称为一个平面，如果拿掉其中的一个向量比如零向量，就像是在平面上戳了一个洞，这会非常糟糕。对于向量空间，必须满足存在于此空间的向量乘以任何数后都在向量空间。乘以 0 也是如此，因此所有的向量空间都必须包含零向量。

• 怎样找出ℝ2${\mathbb{R}}^2$的子空间？

  对于ℝ2${\mathbb{R}}^2$内一条穿过原点（数乘允许乘以 0）的直线上的任意向量，乘以任意数的结果均在这条直线上，即对数乘封闭。而直线上的任意向量，加上直线上的任意向量，结果仍在直线上，即对加法封闭。所以ℝ2${\mathbb{R}}^2$内的一条直线是ℝ2${\mathbb{R}}^2$的一个子空间。

  列出ℝ2${\mathbb{R}}^2$的所有子空间：①ℝ2${\mathbb{R}}^2$本身（最大的子空间）；②穿过原点，两边无限延伸的直线；③零向量0⃗ =(00)$\overrightarrow{0}=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$（最小的子空间）。

• 已知矩阵A=⎛⎝⎜⎜124331⎞⎠⎟⎟$A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 3\\ 4& 1\end{array}\right)$，如何构造子空间？

  通过列向量构造子空间。

  A$A$中的各列均为ℝ3${\mathbb{R}}^3$中的向量，这两列所有的线性组合（包括数乘和加法）构成一个子空间，即column space 列空间，记C(A)$C(A)$。