单个种群——无约束增长

种群增长数目 $bp_{n}$bpn​ 应该和本年已有种群数目 $b_n$bn​ 相关，另外种群死亡数目$dp_{n}$dpn​ 应该和本年已有种群数目 $b_n$bn​ 相关，既有：
$\frac{dp}{dt}=p_{n+1}-p_n=bp_n-dp_n=kp_n$dtdp​=pn+1​−pn​=bpn​−dpn​=kpn​其中k=b-d为种群增长率

单个种群——约束增长

由于环境能够提供能量有限，设$M$M为环境容纳量，超过环境容纳量时，增长率应为负数，接近环境容纳量时，增长率应应减慢，即:
$\frac{dp}{dt}=p_{n+1}-p_n=kp_n(1-\frac{p_n}{M})$dtdp​=pn+1​−pn​=kpn​(1−Mpn​​)
其中k表示正常数，不代表种群增长率（每年都在变化）

两个种群——竞争关系

两个种群在没有对方是可以无竞争生长，即
$\frac{dc}{dt}=c_{n+1}-c_n=k_1c_n(1-\frac{c_n}{m_1})$dtdc​=cn+1​−cn​=k1​cn​(1−m1​cn​​) $\frac{dp}{dt}=p_{n+1}-p_n=k_2p_n(1-\frac{p_n}{m_2})$dtdp​=pn+1​−pn​=k2​pn​(1−m2​pn​​)
其中$k_1,k_2$k1​,k2​表示另一个种群不存在时的种群增长率，$m_1,m_2$m1​,m2​表示两个种群各自对应的环境容纳量，对两个种群而言另一个种群的出现都降低了自己种群的增长率，则可以如下表示：
$\frac{dc}{dt}=c_{n+1}-c_n=k_1c_n(1-\frac{c_n}{m_1}-r_1\frac{p_n}{m_2})$dtdc​=cn+1​−cn​=k1​cn​(1−m1​cn​​−r1​m2​pn​​) $\frac{dp}{dt}=p_{n+1}-p_n=k_2p_n(1-\frac{p_n}{m_2}-r_2\frac{c_n}{m_1})$dtdp​=pn+1​−pn​=k2​pn​(1−m2​pn​​−r2​m1​cn​​)其中$r_1$r1​表示对于供养甲的资源来说，单位数量的乙的消耗为单位数量的甲消耗的$r_1$r1​倍，$r_2$r2​同理。

举例

当种群固有增长率为k1=1，k2=1；环境容纳量为n1=100，n2=200；r1=2，r2=0.5时，两种群数量关于时间曲线如图1，相轨线如图2

两个种群——捕食关系

假设对于捕食者而言被捕食者为其单一食物来源，则在不存在被捕食者时，捕食者种群将以$-kp_n$−kpn​ 的增长率减少至零，而由于被捕食者的存在将提高增长率，既有：
$\Delta c_n=c_{n+1}-c_n=(-k_1c_n+k_3p_n)c_n$Δcn​=cn+1​−cn​=(−k1​cn​+k3​pn​)cn​$\Delta p_n=p_{n+1}-p_n=(k_2p_n-k_4c_n)p_n$Δpn​=pn+1​−pn​=(k2​pn​−k4​cn​)pn​
Tips：没修改捕食模型 感觉不怎么用得到