机器人运动学标定学习笔记
目录
1 概述
机器人学中有很多不同的模型，为了准确控制这些模型，要进行精准的辨识。系统辨识是通过测量来辨识模型的。一般来说有两种模型：参数模型和非参数模型。
参数模型由几个参数来描述，这些参数足以描述模型在整个工作范围内的精度。例如包括传感器增益和偏移、连杆的DH参数和刚体惯性参数。参数化模型特别适合于描述机器人，其部件是人造的，其特性是受控和可理解的。
非参数化模型包括脉冲响应，线性系统的Bode图，非线性系统的Wiener和Volterra核。一个非参数化模型可以被用来当作辨识一个参数化模型的垫脚石。举例来说，一个Bode图经常被用于判断一个模型的阶次，比如一个执行器是否应该按照一个二阶或三阶系统来建模。否则的话，当一个系统的性质非常复杂以至于几乎找不到几个能够集中描述的参数时，就需要非参数化模型了。
2 运动学标定
运动学标定的主要目的是辨识几何的DH参数，尽管也可以识别与传感和传输元件相关的基于关节的参数。运动学标定是几个相互关联的物体坐标系的定位过程。这些物体有可能互相独立或者是由关节连接。
举例包括：
– 根据全局参考坐标系定位一个机器人
– 相对于机器人坐标系定位立体视觉系统
– 相对于机器人末端抓取坐标系定位被抓物体
– 定位机器人相邻连杆坐标系
假设有N个参数构成了一个N×1的向量φ = {φ1, . . . , φN}。这些参数可以构成线性化/非线性化的模型。
其中是一个M×1的输出向量，
是一个n×1的输入向量。对于线性模型来说，A是一个M×N的矩阵，其参数Aij是输入变量x的函数。任意一个Aij都有可能是x的一个很复杂的非线性函数，但是它最终产生的是一个数字。对于非线性模型来说，这是一个显式方程，输入变量出现在非线性函数f = { f1, . . . , fM}中。隐式非线性模型
也可能出现在标定中，它的处理方式和显示非线性模型类似。
我们可能有P个不同的测量值，一个特定的测量用上标l=1，2，...，P表示。
对于线性模型，来自不同测量的信息可以通过叠加P个方程组合而成：
其中是一个所有输出测量的MP×1的向量，
是MP×N的矩阵。参数通过普通最小二乘法求得。
在统计学中，矩阵A称为回归矩阵，最小二乘解称为回归项。线性模型的一个例子是惯性参数的刚体模型。
通常采用高斯-牛顿法估计非线性模型。首先，将输入变量xl（可以看作是一个常数）代入到非线性函数fl中，现在给出上标l。该模型通过迭代k时在参数的当前估计φk处泰勒级数展开线性化：
其中是输出变量的计算值，
是一个在φk下求值的雅可比矩阵。泰勒级数中的高阶项被忽略，产生线性化形式。大胆的假设现在对参数估计值φk进行修正Δφ，使计算的输出变量等于测量值：
。将
定义为输出测量值与当前模型φk的预测输出之间的误差，线性化方程变为：
然后将P次测量的线性化方程叠加，以获得估计形式：
参数估计的修正Δφ可以由普通最小二乘法找到：
通过代入新的估计式不断迭代直到误差Δφ非常小。Gauss-Newton方法具有二次收敛性，在参数初值φ0良好且非线性不太严重的情况下，收敛速度很快。一个非线性模型的例子是包含DH参数的运动学模型。由于非线性是由正弦和余弦引起的，因此Gauss-Newton方法通常具有良好的收敛性。
2.1 串联机器人
一般来说，确定坐标系之间的相对关系需要标定六个几何参数（位置和姿态）。如果坐标系的相对运动有机械约束，比如由关节连接，那么所需参数更少。对于由旋转关节连接的两连杆来说，它的轴是一个线边界向量，需要四个几何参数。对于轴为*矢量的平移关节，只需要两个描述方向的几何参数。此外，还需要非几何参数来描述传感器和机械偏移。
使用改进的DH模型建模，对于一个由n个旋转关节构成的机器人来说，四个参数a、d、α、θ都需要辨识。对于相邻轴几乎平行的情况，建模方法不再适用。为了解决这个问题，Hayati引入了一个用来描述yi-1轴的旋转参数βi。因此参数向量φ=[a d α θ β]可以描述基坐标系到末端坐标系的位姿变换。
不是所有六个位姿参数都需要标定。标定取决于观测一定数量的位姿分量的预测误差，然后使用非线性标定方法。
- 开环标定利用外部计量系统测量位姿。由于机械手在这个过程中不与环境接触，这种方法被称为开环。
- 闭环标定利用末端连杆位姿的物理约束来代替测量，与物理约束的偏差即为预测误差。由于与物理约束的接触，机械手与地面形成闭环。
2.1.1 开环运动学标定
根据所测位姿参数数目的不同，标定可分为以下几类：
一个参数：可以通过多种方式测量到末端连杆上单个点的距离，例如仪表球棒、线电位计或激光位移计。
两个参数：使用一台经纬仪提供两个方位测量，需要提供一个参考长度用来缩放。
三个参数：激光跟踪系统提供精确的三维测量，通过安装在末端的反光效应器产生反射光束提供长度信息，万向轮驱动激光转向提供两个方向测量。这种测量的最不精确部分在于角度，另一种方法是使用三个激光跟踪系统获取长度信息。商业三维立体摄像机运动跟踪系统还提供高精度位置测量。
五个参数：Lau等人介绍了一种带可操纵反射镜的可操纵激光干涉仪。通过俯仰和偏航测量，可操纵干涉仪产生位置的所有三个分量，而可操纵反射镜产生方向的两个分量。
六个参数：全姿态可以从立体摄像系统测量的最后一个环节上多个点的三维位置推断出来。与点云匹配的坐标系产生位置加方向。Vincze等人使用单光束激光跟踪系统，通过在机器人上安装一个安装在万向节上的后向反射器来测量全姿态。像往常一样，位置是用干涉法测量的，新的地方在于通过成像后向反射器边缘的衍射图案来进行方向测量。
- 点测量
末端连杆上一点的3D位置可以用某种形式的立体相机系统测量出来。相机系统定义了一个相对于机器人坐标系1的全局坐标系。为了提供足够的参数，必须引入一个中间坐标系。这个中间坐标系记为坐标系0，相机坐标系记为坐标系1，8个参数中有2个是任意的。
末端连杆的原点On和轴xn以及相关参数dn和θn均未指定。定位一个点仅需要三个参数，因此新增加的坐标系n+1仅需要提供一个新的参数。待测点被定义为新坐标系的原点On+1，与zn和On+1相交的法线定义了xn轴。指定zn+1和zn共线（αn+1=0），xn+1和xn共线（θn+1=0，dn+1=0），这样需要标定的参数就只有an+1, dn和θn。
把未知的运动学参数写成向量φ=[a d α θ β]，非线性运动学模型：
其中ql是位姿l下的关节变量。写出每种参数相关的雅可比矩阵，将模型线性化：
其中雅可比矩阵满足：
将所有最终估计的位姿叠加：
用最小二乘法和迭代法分别求解Δφ和φ。
- 完全位姿测量
假设连杆n的坐标系n+1已经测量了。
坐标系n是用以往的方法确定的，六个用来定位坐标系n+1的标定参数是dn, αn, θn, an+1, dn+1, 和θn+1。如果zn+1和zn几乎平行，为了避免使用Hayati参数，这个轴可以和另一个轴如yn+1置换，除了位置方程坐标系n+1的姿态方程为
，其中F是矩阵函数。线性化这个等式得到：
其中是与角速度矢量相对应的差分正交旋转。因此表示空间速度的雅可比矩阵J可用来表示参数变量Δφ在位置上的变化
和姿态上的变化
：
雅可比矩阵Jl现在有6行：
同样的，用最小二乘法和迭代法分别求解Δφ和φ。
2.1.2 闭环运动学标定
由于不正确的运动模型而导致的与物理约束的偏差被转换为与参考坐标的位移。类似于点测量和全姿态测量，闭环方法包括点约束和全姿态约束。
- 点约束
假设末端执行器持有与环境中的固定点接触的触笔。只要接触点没有改变，就可以通过改变关节角度来改变触笔的方向。首先，用于点测量的测量系统定义了参考坐标系-1（图14.3），并且存在一个末端坐标系n+1，其原点On+1可测（图14.4）。现在，参考坐标原点O0具有索引0，并且与On+1重合（图14.6）。这时不再需要额外的坐标系-1，因为一个点相对于坐标系1的位置只由三个参数决定：a1、d1和θ1。任意选择α1=0，即z0与z1平行。
可以手动生成保持点接触时的不同姿态，如果有力控制能力，也可以自动生成。与（14.13）相比，测量位置通过定义和线性化标定方程为：
。和开环标定相比，生成的位姿是有限的，这有可能影响可辨识性。
- 全位姿约束
与全姿态测量（图14.5）类似，末端连杆可能会受到牢牢抓住环境的完全约束。如果操纵器是冗余的，那么位姿可以通过自运动生成。产生这种位姿需要实现端点力/扭矩传感或关节扭矩传感。
由于是刚性连接，末端连杆可以被视为地面的一部分，因此需要的坐标系比固定点情况少一个。图14.7显示了为了标定设置坐标系O0和On的一种方法。轴z0与轴zn重合。z0和z1之间的公共法线设置原点O0和轴x0。坐标系n通过定义On=O0和xn=x0实现。标定需要的六个参数θn、dn、α1、a1、d1和θ1必须将坐标系n与坐标系0联系起来。
测量位置通过定义和线性化标定方程为：
。
考虑到方位误差，测量的姿态矩阵，索引值调整后：
误差方程可用于全位姿测量。