几种概率分布（二项分布与泊松分布）

1.二项分布

二项分布是说，n重伯努利实验中成功（事件A）的次数为X,，已知事件A发生的概率是p，也即是P(A)=p，则X服从二项分布b(n，p)。记作：X~b(n，p)。

二项分布最典型的实验是抛硬币实验，抛n次硬币，有k次正面朝上的概率是多少？

假设正面朝上的概率是p，根据排列组合，从n次中挑选出k次正面朝上，n-k次翻面朝上，发生的概率P为：

上式中要计算发生k次的概率，只有n是位置量，若要求解，则在二项分布中必须事先知道一个全局的n才行。但是实际生活中我们很难估计的值。饭店油条豆浆店的人数，潜在乘车的人数等等。

n未知难道就没法求解了吗？若我们使用极限思想则：

求解P正是泊松分布的推导过程。那么上式中只剩下p是未知的，根据二项公式的数学期望为μ=np（期望推倒见文末），我们知道p= μ / n，带入上式并推导计算P的极限得：

所以：

有了泊松分布公式，已知均值μ，我们不需要知道总数n，就能求得k值对应的概率是多少。

这里啰嗦一句，为什么公式会这样推导，是因为我们在大量采样的基础上相当于已经知道了期望值，所以在求泊松分布时，我们尽量往期望上靠。但是泊松分布也存在危险，如果我们得到的期望不对，或者我们的期望求解过程有问题，那么后面的估计也会有问题。

二项分布的数学期望为：