线性代数的本质（八）——基变换

我们来看在二维空间中的这个向量

我们用 $\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}$[32​] 来描述这个向量的坐标。这里用的坐标系是最原始的坐标，由 $\hat{i}$i^ 和 $\hat{j}$j^​ 两个基向量决定，如果现在我们换一个坐标系，那如何表示这个向量呢。

这个新坐标系中的 $\vec{b_1}$b1​​ 和 $\vec{b_2}$b2​​ 对应于原来坐标系中的 $\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$[21​] 和 $\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$[−11​] ，但是在这个心坐标系中，$\vec{b_1}$b1​​ 和 $\vec{b_2}$b2​​ 代表的是 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$[10​] 和 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$[01​]

为了说明白，我们先来看看使用这两个新基向量来表示的向量如何转换为用我们的 $\hat{i}$i^ 和 $\hat{j}$j^​ 来表示，首先我们看看新坐标系中的 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$[−12​]。

这个 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$[−12​] 的坐标说明这个向量是 $-1\vec{b_1} + 2\vec{b_2}$−1b1​​+2b2​​，而在我们的坐标系中，$\vec{b_1} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \vec{b_2} = \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix}$b1​​=[21​]b2​​=[−11​]，所以我们可以用 $-1 \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} + 2 \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}$−1[21​]+2[−11​]=[−41​] 来表示，我们可以写成矩阵向量乘法的格式 $\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 \\ 1 \end{bmatrix}$[21​−11​]×[−12​]=[−41​]

这样就能在数值上得出如何在我们的坐标系中表达新坐标系中 $\begin{bmatrix} -1 \\ 2 \end{bmatrix}$[−12​] 了。如果反过来，原始坐标系中的向量需要怎么使用新坐标系来表达？这个时候我们可以利用逆矩阵 ${\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1}$[21​−11​]−1 来进行变换。这样我们就能求出最上面那个问题的答案就是 ${\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1} \times \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{5}{3} \\ \frac{1}{3} \end{bmatrix}$[21​−11​]−1×[32​]=[35​31​​] 新坐标系中的两个基向量组成的矩阵能够将新坐标系中的向量转化为使用原始坐标系来描述，同样的，这个矩阵的逆矩阵能够将原始坐标中的向量转化为使用新坐标系来描述。

接下来我们看看更加复杂的问题，考虑一个将空间逆时针旋转90°的变换，我们可以使用 $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$[01​−10​] 来表示。这是在原始坐标系中的表示方法，可是在上面那个新坐标系呢，怎么使用新坐标系来表示这个逆时针旋转90°的变换呢？

我们假设有一个二维向量 $\vec{v}$v ，这个二维向量 $\vec{v}$v 是使用新坐标系来描述的，首先先将这个二维向量转换成原始坐标系来描述。

$\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \vec{v}$[21​−11​]v

然后我们使用原始坐标系中的逆时针旋转90°变换来进行变换

$\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \vec{v}$[01​−10​][21​−11​]v

最后我们将这个向量重新转换为使用新坐标系来描述

${\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \vec{v}$[21​−11​]−1[01​−10​][21​−11​]v

最后我们得到了一个复合变换 ${\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}}^{-1} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{-2}{3} \\ \frac{5}{3} & \frac{-1}{3} \end{bmatrix}$[21​−11​]−1[01​−10​][21​−11​]=[31​35​​3−2​3−1​​]，这个复合变换接收一个使用新坐标系描述的向量，并将那个向量逆时针旋转90°后使用新坐标系描述出来。

这个时候让我们来看看相似矩阵的定义

• 设$A$A,$B$B都是n阶矩阵，若存在可逆矩阵$P$P，使$P^{-1}AP=B$P−1AP=B，则称$B$B是$A$A的相似矩阵, 并称矩阵$A$A与$B$B相似，记为$A$A~$B$B。

这里的$A$A对应着上面例子中使用原坐标系描述的逆时针旋转90°的变换 $\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$[01​−10​]，而$B$B对应着上面例子中使用新坐标系描述的逆时针旋转90°的变换 $\begin{bmatrix} \frac{1}{3} & \frac{-2}{3} \\ \frac{5}{3} & \frac{-1}{3} \end{bmatrix}$[31​35​​3−2​3−1​​]。