第四章 二元关系和函数 4.3 关系的性质
4.3 关系的性质
一个一个来,先来看自反关系:
注意:这里要求每一个点上都有环即可,不要求都是环。
例题:
可见其关系矩阵的特点是:主对角线元素全是1
关系图的特点是:图中每个顶点都有环
再来看反自反关系:
例题:
总结一下二者的性质:
注意:
存在既不是自反也不是反自反的关系。即有环但是不是每一个点都有环。
来看对称关系:
关系矩阵对称与否,跟主对角线上的元素没有关系。所以如果在关系中除了形如(a,a)型的元素,其他的每一个都有对称的另一半,那么就有对称关系。
例题:
关系矩阵的特点:是对称矩阵(沿主对角线对称)。
关系图的特点:如果两个顶点之间有边,一定是一对方向相反的边。
相应的我们来看反对称关系:
所以如果在关系中除了形如(a,a)型的元素,其他的每一个都没有对称的另一半,那么就有反对称关系。
例题:
关系矩阵的特点:关系矩阵不对称。
关系图的特点:如果两个顶点之间有边,一定是一条有向边。
解析:
和之前自反和反自反关系一样,因为对称与反对称关系中有“每一个都”的概念,所以可能存在关系既不是对称关系也不是反对称关系。
总结一下二者的性质:
这里我们要强调一点:
当关系中全为(a,a)型的元素时,该关系既是对称关系又是反对称关系。
最后来看传递关系:
简单来说符合撺传递关系有两个类型:
<1>若可传递则一定传递
<2>没有传递的条件基础
例题:
总结:
再来看一些充分条件:
注意:
这里表示的是恒等关系。
第二条证明:
这里我主要说的是这些证明方法:
<1> 证明充要条件时,我们可以分别证明其必要性和充要性。必要性:利用结论推条件。 充要性:利用条件推结论。
<2>遇见不好直接证明的题,我们可以运用反证法。反条件推结论不成立。
对于证明充要性的方法我们再通过证明第五条来加强一下:
关系性质的保持:
练习1:
集合A={1,2,…,10}上的关系R={<x,y>|x+y=10,x∈A,y∈A}具有下列哪些性质?
练习2:
练习3:
如果R1和R2是A上的自反关系,则R1∩R2, R1∪R2, R1−R2中自反关系有()个?
练习4:
给定集合 A={1,2,3,4},并且有 A 上的关系 R={<2,1>,< 3,1>,< 3,2>,<4,1>,<4,2>} 画出A的关系矩阵
以下是本人自创的方法:
因为集合A中有四个元素,所以我们再把矩阵补齐得:
所以最后A的关系矩阵为:
练习5:
如果关系 R 和 S 都是自反的,关系R⊕S是反自反的吗?请给出证明。
练习6:
设 , , 是集合的中的二元关系。证明如果 ⊆则下式成立: