算法9_动态规划

基本思想

动态规划算法通常用于求解具有某种最优性质的问题。
在这类问题中，可能会有许多可行解。

• 每一个解都对应于一个值，我们希望找到具有最优值的解。

基本思想是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。

• 适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。若用分治法来解这类问题，则分解得到的子问题数目太多，有些子问题被重复计算了很多次。

如果我们能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出已求得的答案，这样就可以避免大量的重复计算，节省时间。

• 我们可以用一个表来记录所有已解的子问题的答案。不管该子问题以后是否被用到，只要它被计算过，就将其结果填入表中。

这就是动态规划法的基本思路。

• 具体的动态规划算法多种多样，但它们具有相同的填表格式。

步骤

1、找出最优解的性质，并刻画其结构特征；
2、递归地定义最优值（写出动态规划方程）；
3、以自底向上的方式计算出最优值；
4、根据计算最优值时得到的信息，构造一个最优解。

• 步骤1～3是动态规划算法的基本步骤。
• 在只需要求出最优值的情形，步骤4可以省略；
• 若需要求出问题的一个最优解，则必须执行步骤4。

特征

动态规划算法的有效性依赖于问题本身所具有的两个重要性质：

1. 最优子结构：
   当问题的最优解包含了其子问题的最优解时，称该问题具有最优子结构性质。
2. 重叠子问题：
   在用递归算法自顶向下解问题时，每次产生的子问题并不总是新问题，有些子问题被反复计算多次。动态规划算法正是利用了这种子问题的重叠性质，对每一个子问题只解一次，而后将其解保存在一个表格中，在以后尽可能多地利用这些子问题的解。

慕课

动态规划算法的例子

最短路径问题

• 输入：起点集合 { S₁, S₂, …, S_n } ，终点集合{T₁, T₂, … , T_m}，中间结点集，边集E，对于任意边 e 有长度
• 输出：一条从起点到终点的最短路

算法设计：
蛮力算法：考察每一条从某个起点到某个终点的路径，计算长度,从其中找出最短路径。

在上述实例中，如果网络的层数为k，那么路径条数将接近于2^k。

动态规划算法：多阶段决策过程。每步求解的问题是后面阶段求解问题的子问题。每步决策将依赖于以前步骤的决策结果。

优化原则:最优子结构性质
•优化函数的特点：任何最短路的子路径相对于子问题始、终点最短
•优化原则：一个最优决策序列的任何子序列本身一定是相对于子序列的初始和结束状态的最优决策序列

动态规划算法设计

动态规划设计要素

1. 问题建模，优化的目标函数是什么？约束条件是什么？
2. 如何划分子问题（边界）？
3. 问题的优化函数值与子问题的优化函数值存在 着什么依赖关系？(递推方程)
4. 是否满足优化原则？
5. 最小子问题怎样界定？其优化函数值，即初值等于什么？

动态规划算法递归实现