036.(9.6)拉格朗日乘子法
源问题:求一个多元函数 f 在约束条件 g=a 下的 极值。
注意:虽然主体目标是f ,但是定义域却是约束条件下的定义域
主要思想(以这类问题的简单形式为例): 引入一个新的参数 λ ,即拉格朗日乘子,将约束条件函数与原函数联系到一起。
原理
由等高线图,显然当 f 与 g 相切时,f 取得极值。
又根据梯度与等高线的切线垂直,可得:二维条件下,在相切点,目标函数的梯度向量和约束曲线的梯度向量平行。
(多约束条件下:目标函数的梯度向量 与 约束函数梯度向量的线性组合平行)
即:
方法阐述
方法本质一样。
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方法一:即上述提到的方法。
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方法二:
得到g=0的约束形式,再令F = f + λg ,对各自变量(加上λ)求偏导,且满足偏导为0。
其中对λ求偏导时,即满足g=0的约束。