矩阵代数（七）- 维数与秩

小结

1. 坐标系
2. 子空间的维数
3. 秩与可逆矩阵定理

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坐标系

选择子空间$\boldsymbol{H}$H的一个基代替一个存粹生成集的主要原因是，$\boldsymbol{H}$H中的每个向量可以被表示为基向量的线性组合的唯一表示。

假设$\boldsymbol{\beta}=\{ \boldsymbol{b_1},\cdots,\boldsymbol{b_p}\}$β={b1​,⋯,bp​}是子空间$\boldsymbol{H}$H的一组基，对$\boldsymbol{H}$H中的每一个向量$\boldsymbol{x}$x，相对于基$\boldsymbol{\beta}$β的坐标是使$\boldsymbol{x}=c_1\boldsymbol{b_1} + \cdots + c_p\boldsymbol{b_p}$x=c1​b1​+⋯+cp​bp​成立的权$c_1,\cdots,c_p$c1​,⋯,cp​，且$\mathbb{R}^{p}$Rp中的向量$\boldsymbol{[x]_\beta}=\begin{bmatrix}c_1 \\ \vdots \\ v_p \end{bmatrix}$[x]β​=⎣⎢⎡​c1​⋮vp​​⎦⎥⎤​称为$\boldsymbol{x}$x（相对于$\boldsymbol{\beta}$β）的坐标向量，或$\boldsymbol{x}$x的$\boldsymbol{\beta}$β-坐标向量。

设$\boldsymbol{v_1}=\begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix},\boldsymbol{v_2}=\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix},\boldsymbol{x}=\begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix},\boldsymbol{\beta}=\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}$v1​=⎣⎡​362​⎦⎤​,v2​=⎣⎡​−101​⎦⎤​,x=⎣⎡​3127​⎦⎤​,β={v1​,v2​}。因$\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}$v1​,v2​线性无关，故$\boldsymbol{\beta}$β是$\boldsymbol{H}=Span\{\boldsymbol{v_1}, \boldsymbol{v_2}\}$H=Span{v1​,v2​}的基。判断$\boldsymbol{x}$x是否在$\boldsymbol{H}$H中，如果是，求$\boldsymbol{x}$x相对于$\boldsymbol{\beta}$β的坐标向量。
解：如果$\boldsymbol{x}$x在$\boldsymbol{H}$H中，则下面的向量方程是相容的：
$\boldsymbol{c_1}\begin{bmatrix}3 \\ 6 \\ 2\end{bmatrix} + \boldsymbol{c_2}\begin{bmatrix}-1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3 \\ 12 \\ 7\end{bmatrix}$c1​⎣⎡​362​⎦⎤​+c2​⎣⎡​−101​⎦⎤​=⎣⎡​3127​⎦⎤​
如果数$c_1,c_2$c1​,c2​存在，则它们是$\boldsymbol{x}$x的$\boldsymbol{\beta}$β-坐标。由行变换得：
$\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ 6 & 0 & 12 \\ 2 & 1 & 7 \end{bmatrix}$⎣⎡​362​−101​3127​⎦⎤​~$\begin{bmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$⎣⎡​100​010​230​⎦⎤​
于是$c_1=2,c_2=3,\boldsymbol{[x]_\beta}=\begin{bmatrix}2 \\ 3\end{bmatrix}$c1​=2,c2​=3,[x]β​=[23​]。

注意到虽然$\boldsymbol{H}$H中的点也在$\mathbb{R}^{3}$R3中，但它们完全由属于$\mathbb{R}^{2}$R2的坐标向量确定。映射$\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{[x]_\beta}$x↦[x]β​是使$\boldsymbol{H}$H和$\mathbb{R}^{2}$R2之间保持线性组合关系的一一映射。我们称这种映射是同构的，且$\boldsymbol{H}$H与$\mathbb{R}^{2}$R2同构。
一般地，如果$\boldsymbol{\beta}=\{ \boldsymbol{b_1}, \cdots, \boldsymbol{b_p}\}$β={b1​,⋯,bp​}是$\boldsymbol{H}$H的基，则映射$\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{[x]_\beta}$x↦[x]β​是使$\boldsymbol{H}$H和$\mathbb{R}^{p}$Rp的形态一样的一一映射（尽管$\boldsymbol{H}$H中的向量可能有多余$p$p个元素）。

子空间的维数

非零子空间$\boldsymbol{H}$H的维数（用$dim \;\boldsymbol{H}$dimH）是$\boldsymbol{H}$H的任意一个基的向量个数。零子空间$\{ \boldsymbol{0} \}${0}的维数定义为零。
$\mathbb{R}^{n}$Rn空间维数为$n$n，$\mathbb{R}^{n}$Rn的每个基由$n$n个向量组合。$\mathbb{R}^{3}$R3中一个经过$\boldsymbol{0}$0的平面是二维的，一条经过$\boldsymbol{0}$0的直线是一维的。

矩阵$\boldsymbol{A}$A的秩（记为$rank \;\boldsymbol{A}$rankA）是$\boldsymbol{A}$A的列空间的维数。

确定矩阵的秩：
$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}$A=⎣⎢⎢⎡​2460​579−9​−3−4−56​−4−325​894−6​⎦⎥⎥⎤​
解：行化简$\boldsymbol{A}$A称阶梯形：
$\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 4 & 7 & -4 & -3 & 9 \\ 6 & 9 & -5 & 2 & 4 \\ 0 & -9 & 6 & 5 & -6 \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​2460​579−9​−3−4−56​−4−325​894−6​⎦⎥⎥⎤​～$\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -4 & 8 \\ 0 & -3 & 2 & 5 & -7 \\ 0 & 0 & 0 & 4 & -6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$⎣⎢⎢⎡​2000​5−300​−3200​−4540​8−7−60​⎦⎥⎥⎤​
矩阵$\boldsymbol{A}$A有3个主元列，因此$rank \;\boldsymbol{A}=3$rankA=3

定理 14（秩定理）
如果一矩阵$\boldsymbol{A}$A有$n$n列，则$rank \;\boldsymbol{A} + dim \;Nul \;\boldsymbol{A}=n$rankA+dimNulA=n

定理 15（基定理）
设$\boldsymbol{H}$H是$\mathbb{R}^{n}$Rn的$p$p维子空间，$\boldsymbol{H}$H中的任何恰好由$p$p个元素组成的线性无关集构成$\boldsymbol{H}$H的一个基。并且，$\boldsymbol{H}$H中任何生成$\boldsymbol{H}$H的$p$p个向量集也构成$\boldsymbol{H}$H的一个基。

秩与可逆矩阵定理

定理（可逆矩阵定理（续））
设$\boldsymbol{A}$A是一$n \times n$n×n矩阵，则下面的每个命题与$\boldsymbol{A}$A是可逆矩阵的命题等价：
$\begin{aligned} & m. \;\boldsymbol{A}的列向量构成\mathbb{R}^{n}的一个基 \\ & n.\;Col \;\boldsymbol{A}=\mathbb{R}^{n} & &o.\;dim \;Col\;\boldsymbol{A}=n \\ & p.\;rank \;\boldsymbol{A}=n && q.\;Nul\;\boldsymbol{A}=\{\boldsymbol{0}\} \\ &r.\;dim \;Nul \;\boldsymbol{A} = 0\end{aligned}$​m.A的列向量构成Rn的一个基n.ColA=Rnp.rankA=nr.dimNulA=0​​o.dimColA=nq.NulA={0}​