统计学——小样本容量置信区间

一般来讲，n<30，不能进行好的估计，针对这种情况，给出t distribution对sample mean分布进行修正。

T分布和正态分布相似，具有fatter tail，因为低估了S。对应的，不再去查z table，而是去查t table。T table的列为*度degrees of freedom，即n-1。

有些记法在上面加了个帽子记为，表示这是由样本标准差估算出来的sample mean的standard devication。

例题：7名学生在使用了新研制的钙片3个月后，他们的血液中的钙含量分别上升了1.5, 2.9, 0.9, 3.9, 3.2, 2.1, 1.9。所有使用新钙片的学生的钙含量增加的平均值的95%的置信区间。

分析：首先，我们有一个抽样样本，样本的容量为7，均值为：2.34，无偏方差为1.04。

我们知道，样本的无偏方差可以认为是总体的方差，所以总体的方差为1.04，抽样样本均值的方差即为1.04/7 = 0.149，抽样样本均值的标准差为：0.385.

因为样本小于30，所以样本均值的分布服从t分布，下图是t分布表，我们看双侧，同时需要看*度：（n-1）=6，得到的值为：2.447。所以意味着需要离开均值2.447个标准差的置信区间是95%。

所以本题相当于：

所以总体的真实均值为[2.34-2.447*0.385, 2.34+2.447*0.385]，即总体均值在[1.39, 3.28]的置信度为95%