超平面公式推导及理解
最近在学习《统计学习方法》,在学习第一个机器学习算法 ——感知机时,提出了超平面的概念,以下为超平面公式的推导及空间中任意一点距离超平面距离的推导。方便日后复习。参考
超平面
在数学中,超平面是n
维欧氏空间中,余维度为1的子空间[1]。即超平面是n维空间中的n-1维的子空间。它是平面中的直线、空间中的平面之推广。
上面的这句话,读完应该不是很清楚,下面详细介绍一下。下面的解释参考了知乎上的文章:一根芦苇儿
- 我们都知道,0维的点可以将1维的线分为两个部分:
- 1维的线可以将2维的平面分成两个部分:
- 2维的面可以将3维的体分成两部分:
以此类推,n-1
维的子空间,可以将n
维的空间分为两个部分。所以超平面就是这个n-1
维子空间,他就像3维空间中的平面,可以用来将n
维空间分割成为两个部分。
超平面公式
超平面公式推导
在n
维空间中,超平面该如何表示?
在n维空间中,假设x0为超平面上的一点,w为超平面的法向量,对于超平面上任意的一点x,都存在:
点到超平面的距离
设n维超平面的方程为:
如果求d,则可以更加三角函数关系知: