1. 余弦定理

余弦定理是勾股定理的一般形式，勾股定理是余弦定理的特殊情况，因此，余弦定理是怎么得出来的呢？本文将在勾股定理的基础上推到出余弦定理

如上图所示：三角形ABC，其中AD垂直于BC，则根据勾股定理：$c^2 = AD^2+DC^C$c2=AD2+DCC
其中，$AD = bsin\alpha, DC=a-BD=a-bcos\alpha$AD=bsinα,DC=a−BD=a−bcosα将这两个等式带入上式
$c^2 = AD^2+DC^C=(bsin\alpha)^2+(a-bcos\alpha)^2$c2=AD2+DCC=(bsinα)2+(a−bcosα)2
$c^2 =b^2sin^2\alpha+a^2+b^2cos^2\alpha-2abcos\alpha$c2=b2sin2α+a2+b2cos2α−2abcosα
$c^2 =b^2(sin^2+cos^2\alpha）+a^2\alpha-2abcos\alpha = b^2+a^2-2abcos\alpha$c2=b2(sin2+cos2α）+a2α−2abcosα=b2+a2−2abcosα
证明完毕。

2. $cos(\alpha - \beta)=sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\beta$cos(α−β)=sinαsinβ+cosαcosβ

证明：

如上图所示，三角形OAB，其中A点坐标客表示为$(r_acos\alpha, r_asin\alpha)$(ra​cosα,ra​sinα)，B点坐标客表示为$(r_bcos\beta, r_bsin\beta)$(rb​cosβ,rb​sinβ)。则$\vec{BA}$BA可以表示为$(r_acos\alpha-r_bcos\beta, r_asin\alpha-r_bsin\beta)$(ra​cosα−rb​cosβ,ra​sinα−rb​sinβ)，则其长度的平方为：
$|\vec{BA}|^2 = (r_acos\alpha-r_bcos\beta)^2+(r_asin\alpha-r_bsin\beta)^2$∣BA∣2=(ra​cosα−rb​cosβ)2+(ra​sinα−rb​sinβ)2
展开化简得：
$|\vec{BA}|^2 = r_a^2+r_b^2-2r_ar_b(cos\alpha cos\beta+sin\alpha sin\beta)$∣BA∣2=ra2​+rb2​−2ra​rb​(cosαcosβ+sinαsinβ)
同理，根据三角形的余弦定理，$|AB|^2 = |OA|^2+|OB|^2-2|OA||OB|cos(\alpha-\beta)$∣AB∣2=∣OA∣2+∣OB∣2−2∣OA∣∣OB∣cos(α−β),而|OA|的长度为$r_a$ra​,|OB|的长度为$r_b$rb​，代入方程得，
$|\vec{BA}|^2 = r_a^2+r_b^2-2r_ar_bcos(\alpha-\beta)$∣BA∣2=ra2​+rb2​−2ra​rb​cos(α−β)
比较上两式得，$cos(\alpha - \beta)=sin\alpha sin\beta+cos\alpha cos\beta$cos(α−β)=sinαsinβ+cosαcosβ
证毕