数学：凸包算法详解

一.概念：

凸包（Convex Hull）是一个计算几何（图形学）中的概念。
在一个实数向量空间V中，对于给定集合X，所有包含X的凸集的交集S被称为X的凸包。
X的凸包可以用X内所有点(X1，…Xn)的线性组合来构造.
在二维欧几里得空间中，凸包可想象为一条刚好包著所有点的橡皮圈。
用不严谨的话来讲，给定二维平面上的点集，凸包就是将最外层的点连接起来构成的凸多边型，它能包含点集中所有的点。
例子：假设平面上有p0~p12共13个点，过某些点作一个多边形，使这个多边形能把所有点都“包”起来。当这个多边形是凸多边形的时候，我们就叫它“凸包”。如下图：
数学：凸包算法详解

二.解法：
Graham扫描法

时间复杂度：O(n㏒n)
思路：Graham扫描的思想是先找到凸包上的一个点，然后从那个点开始按逆时针方向逐个找凸包上的点，实际上就是进行极角排序，然后对其查询使用。
数学：凸包算法详解
步骤：

把所有点放在二维坐标系中，则纵坐标最小的点一定是凸包上的点，如图中的P0。
把所有点的坐标平移一下，使 P0 作为原点，如上图。

现将所有的点按照纵坐标从小到大排序如果中坐标相同则按照横坐标从小到大排序

计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序。当 α 相同时，距离 P0 比较近的排在前面。例如上图得到的结果为 P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7，P8。我们由几何知识可以知道，结果中第一个点 P1 和最后一个点 P8 一定是凸包上的点。
（以上是准备步骤，以下开始求凸包）
以上，我们已经知道了凸包上的第一个点 P0 和第二个点 P1，我们把它们放在栈里面。现在从步骤3求得的那个结果里，把 P1 后面的那个点拿出来做当前点，即 P2 。接下来开始找第三个点：

计算各个点相对于 P0 的幅角 α ，按从小到大的顺序对各个点排序

除了p0之外的其他点排序

计算其他点和p0的向量叉积

从左到右排序

连接栈顶下的第一个点和栈顶的那个点，得到直线 L 。看当前点是在直线 L 的右边还是左边（利用叉积判断位置）。如果在直线的右边就执行步骤5；如果在直线上，或者在直线的左边就执行步骤6。

连接栈顶下的第一个点和栈顶的那个点,得到向量 l1
连接栈顶下的第一个点和当前点,得到向量 l2
计算向量叉积 l1xl2 ：

如果大于0 则当前点在直线L 的左边

如果等于0 则当前点在直线L上

如果小于0 则当前点在直线L 的右边

如果在右边，则栈顶的那个元素不是凸包上的点，把栈顶元素出栈。执行步骤4。
当前点是凸包上的点，把它压入栈，执行步骤7。
检查当前的点 P2 是不是步骤3那个结果的最后一个元素。是最后一个元素的话就结束。如果不是的话就把 P2 后面那个点做当前点，返回步骤4。

最后，栈中的元素就是凸包上的点了。
　　以下为用Graham扫描法动态求解的过程：
数学：凸包算法详解

下面静态求解过程
数学：凸包算法详解

三.模板

/*
author: 熊谦智
题目描述：
涉及算法：凸包算法 
link: https://www.cnblogs.com/aiguona/p/7232243.html
*/

#include<iostream>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1005;
struct Node{
  int x, y;
};
Node a[N];
Node node;
double distance(const Node& node1, const Node& node2) {
  return sqrt((node1.x-node2.x)*(node1.x-node2.x)+(node1.y-node2.y)*(node1.y-node2.y));
}
int vector_product(const Node& node1, const Node& node2, const Node& node3, const Node& node4) {
  //(node1,node2) x (node1,node3) 的向量叉积
  return (node2.x-node1.x)*(node4.y-node3.y)-(node2.y-node1.y)*(node4.x-node3.x); 
}
int cross(node a,node b,node c)//计算叉积  ---- 计算(a,b) x (a,c)
{
    return (b.x-a.x)*(c.y-a.y)-(c.x-a.x)*(b.y-a.y);
}
bool cmp3(Node a,Node b)//极角排序另一种方法，速度快
{
    if(atan2(a.y-yy,a.x-xx)!=atan2(b.y-yy,b.x-xx))
        return (atan2(a.y-yy,a.x-xx))<(atan2(b.y-yy,b.x-xx));
    return a.x<b.x;
}

bool cmp1(const Node& node1, const Node& node2) { // 单纯的对点进行排序 
  if (node1.y == node2.y) return node1.x < node2.x;
  return node1.y < node2.y;
}
bool cmp2(const Node& node1, const Node& node2) { // 极角排序 

  int m = vector_product(node,node1,node,node2) ;
  if (m > 0) {  // 理解叉积正负的意义 -- 右手定则 
    return true;
  } else if (m == 0) {
    double l1 = distance(node,node1);
    double l2 = distance(node,node2); // 如果在同一条线上按照距离从小到大排序 
    return l1 < l2;
  } else {
    return false;
  }
  
//  if(m==0)
//    return dis(vex[0],a)-dis(vex[0],b)<=0?true:false;
//  else
//    return m>0?true:false;
}

int main() {
  int n;
  while (cin >> n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
      cin >> a[i].x >> a[i].y;
    }
    sort(a,a+n,cmp1);
    vector<Node> v(n); //vertor 充当 stack  
    node = a[0];
    int top = 0;
    v[top++] = a[0];
    sort(a+1,a+n,cmp2);
    v[top] = a[1];
    for (int i = 2; i < n; i++) {
//      while (top > 0 && vector_product(v[top-1],v[top],v[top-1],a[i]) < 0) {
//        top--;
//      }
      while (top > 0 && cross(v[top-1],v[top],a[i]) < 0) {
        top--;
      }
      v[++top] = a[i];
    }
    double sum = 0;
    for (int i = 0; i <= top; i++) {
      cout << v[i].x << " " << v[i].y << endl;
      if (i != top) {
        sum += distance(v[i],v[i+1]); 
      } else {
        sum += distance(v[i],v[0]); //最后一个点和第一个点之间的距离
      }
    }
    printf ("%.2f\n",sum) ;
  }
}
/*
Please input the size: 
8

1 0

0 1

0 -1

-1 0

2 0

0 2

0 -2

-2 0

输出：(凸包顶点坐标)

0  -2

2  0

0  2

-2 0
*/

总结

在图形学中，凸包是一个非常重要的概念。简明的说，在平面中给出N个点，找出一个由其中某些点作为顶点组成的凸多边形，恰好能围住所有的N个点。该凸包算法又叫Graham Scan法。点排序时间复杂度O(nlogn)，检查每个点O(n)，综合时间复杂度O(nlogn).

参考链接：
https://www.cnblogs.com/aiguona/p/7232243.html
https://blog.****.net/qq_39747794/article/details/81563346
https://blog.****.net/bone_ace/article/details/46239187

数学：凸包算法详解

三.模板

总结

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