线性代数学习笔记三：矩阵的秩

Q：有n个方程就能解出n个未知数么？

A：不一定，如要有唯一解，则他们必须线性无关。否则这个方程组有无穷多个解。

线性无关：在一个线性空间*中，如果一组向量a1,a2...as（其中s>=1），只有当k1=k2=...=ks=0是，k1a1+k2a2+…ksas=0才成立，则称这组向量线性无关。如若存在一组不全为零的系数使该等式结果为零，则这组向量线性相关。

可以理解为，方程组中的向量不能被其他向量表示。否则这个向量不被看做干货向量。

如下图的矩阵B，经过行列变换后，得到的矩阵B4中，非零子式的最高阶数是3，3即矩阵B的秩。

即这些方程组中真正是干货的方程个数，就是这个方程组对应矩阵的秩。

线性代数学习笔记三：矩阵的秩

线性无关的几何意义

记空间的维度为N，给定一组矢量，什么是他们线性无关性？我们下面将说明，一组矢量的线性相关性本质上，是描述他们所张成的广义平行四边形体积是否为NULL（零）。

我们仍然从最简单的2维空间出发。如果两个2维空间的向量是线性相关的，那么就是说，其中一个与另外一个共线，也就是说，他们所张成的四边形，面积是零。反之，如果线性无关，则不共线，则面积不为零。

同理，如果三个三维空间的向量是线性无关的，那么他们三者就不共面。因此他们所张成的平行六面体，体积不是零。

更进一步地，我们知道，二维空间如果给定三个向量，他们必定共面（二维空间内不可能存在一个“体积”），因此他们必定线性相关。推而广之，我们不难理解，为什么一个维度为N的空间内，任意一组M个向量（M>N）必定线性相关了：因为维度大于空间维度的超平形四边体不存在。

由此我们得到一个一一对应的关系：

N个向量线性无关 == 他们所张成的N维体体积不为零

Reference:

2.矩阵的秩与行列式的几何意义： https://zhuanlan.zhihu.com/p/19609459