线性代数学习笔记（二）：线性变换的理解

一、基变换与坐标变换

一个n维的线性空间V，可以有多组基底。
假设存在两组基底：老基底$=(\vec e_1,\vec e_2,...,\vec e_n)$=(e1​,e2​,...,en​)；
              新基底$=(\vec e'_1,\vec e'_2,...,\vec e'_n)$=(e1′​,e2′​,...,en′​)。
对于线性空间中一个元素$\vec \alpha$α可以被表示，如下图示：也即元素$\vec \alpha$α=

我们知道对于新基底中每个元素$\vec e_k$ek​，其都属于线性空间V中的某一个普通元素，所以可以用老基底展开表示出来，如下图：

将系数抽象出来，用矩阵表示-矩阵T：

观察可得：
基变换：$(\vec e'_1,\vec e'_2,...,\vec e'_n)=(\vec e_1,\vec e_2,...,\vec e_n)T$(e1′​,e2′​,...,en′​)=(e1​,e2​,...,en​)T
系数变换：$(\vec k_1,\vec k_2,...,\vec k_n)=(\vec k'_1,\vec k'_2,...,\vec k'_n)T$(k1​,k2​,...,kn​)=(k1′​,k2′​,...,kn′​)T
其中，T 被称作过渡矩阵。
(不区分基底变换矩阵和系数变换矩阵，同是矩阵T[好巧(´∀`)])。
那么再来想，如果$(\vec e'_1,\vec e'_2,...,\vec e'_n)$(e1′​,e2′​,...,en′​)可以作为线性空间V的一组新基底。那它肯定需要满足：线性无关性。
根据基底变换公式：新基底=老基底*T。
得：新基底的线性无关性与转换矩阵T有关。
    —— T是满秩矩阵。

基底变换矩阵可以由老基底变到新基底，同样也一定能由新基底再变回来。那么就引出了 “矩阵的逆”-“逆矩阵” 的概念。
如下图所示：


可以得到结论：

$rank(T)=n$rank(T)=n ;
矩阵T是方阵，同时是可逆矩阵。

二、 线性变换

2.1 线性变换与基变换的不同

2.1中为引入“基变换”和“坐标变换”的概念，从线性空间拎出任一向量$\vec \alpha$α，并对这一个向量的“微观”表示下文章，加以解释概念。

向量不变，基底变。

而我们要从线性空间中取出的向量也不总是一成不变的，向量与向量间如何转换？

向量变，且变换后的向量仍保持线性性。

线性变换：
$L(k\vec \alpha+l\vec \beta)=k*L(\vec \alpha)+l*L(\vec \beta)$L(kα+lβ​)=k∗L(α)+l∗L(β​)

常见的线性变换：投影、旋转、反演、各类复合。

投影：$\vec \alpha$α与$\vec \beta$β​的和在平面上的投影等于$\vec \alpha$α与$\vec \beta$β​分别投影之和。

2.2 线性变换的表示

线性变换本身是不需要基底的，但是我们常常需要引入基底来帮助计算和形象化的表示这种变换。

• Why？
  想象一个二维空间中的向量$\vec \alpha$α：对其做线性变换（伸缩或旋转、改变方向或大小）时，本就是针对这个向量本身完成的这些操作。但是为了具象的描述这个过程，引入基底以精准的用数学语言描述：
  已知二维空间的基底为$\vec x和\vec y$x和y​，$\vec \alpha$α可以分别投影到x轴和y轴上，自然的定义一种数学描述$\vec \alpha=k\vec x+l\vec y$α=kx+ly​。
  当对$\vec \alpha$α做整体线性变换$L(\vec \alpha)$L(α)时，$L(\vec \alpha)=L(k\vec x+l\vec y)$L(α)=L(kx+ly​),这个操作就相当于对每个基底(分量)先进行线性变换然后求和得到$L(\vec \alpha)$L(α)：$L(k\vec x+l\vec y)=k(L\vec x)+l(L\vec y)$L(kx+ly​)=k(Lx)+l(Ly​)。
  要想求$\vec \alpha$α线性变换后的向量，先求出各个基底的线性变换后乘系数加和。

线性空间中引入基底来描述线性变换的过程:
$\vec e=(\vec e_1,\vec e_2,...,\vec e_n)$e=(e1​,e2​,...,en​)
$\vec \alpha=k_1\vec e_1+k_2\vec e_2+...+k_n\vec e_n$α=k1​e1​+k2​e2​+...+kn​en​
$L(\vec \alpha)=k_1*L(\vec e_1)+k_2*L(\vec e_2)+...+k_n*L(\vec e_n)$L(α)=k1​∗L(e1​)+k2​∗L(e2​)+...+kn​∗L(en​)
研究$L(\vec \alpha)$L(α)的问题转化成研究各个基底的线性变换。

观察每个基底的变化：$\vec e_i \to L(\vec e_i)$ei​→L(ei​)
每个基底也可以被原线性空间的一组基底表示(只不过其他维度系数都为0)
$L(\vec e_i)$L(ei​)相当于对$\vec e_i$ei​ 这个基向量的 每个基底做线性变换。即每个分量乘上对应变换系数。

最终表示出对于这个向量而言，整体的线性变换—— 将线性变换L描述成一个矩阵$L_{n*n}$Ln∗n​。

线性变换作用在一个向量上，就相当于作用在这个向量对应的每个基底上。

任何一个n*n的矩阵L，等价于一个线性变换。

2.3 线性变换的分类

线性变换根据是否可逆，分成可逆线性变换和不可逆线性变换。
可逆线性变换：旋转、反演等。
不可逆线性变换：投影。

2.4 线性变换与矩阵

在学习线性空间和线性变换的过程中，我们总不可避免的去接触矩阵这个东西——
a) 描述坐标变换$\vec e_i \to \vec e_i'$ei​→ei′​，用到矩阵$T_{n*n}$Tn∗n​；
b) 描述向量用不同基底展开时的系数变化$k_i \to k_i'$ki​→ki′​，用到矩阵$T_{n*n}$Tn∗n​；
c) 描述线性变换$\vec \alpha \to \vec \alpha'$α→α′，用到矩阵$L_{n*n}$Ln∗n​。

那矩阵到底是什么？到底用来描述什么东西？
想象一个自然数，我们可以把它认为是多少钱、多少道题、多少本书、多少天等。

当给定了使用场景/衡量标准时，它有不同的意义。
只有给定了使用场景/衡量标准时，它才有意义。
矩阵也是这样。

对于矩阵的理解要结合具体场景，从宏观体系上理解。眼光不能总是聚焦在矩阵中的一串数字上。

2.5 应用：线性代数观点看线性变换

用线性代数求解函数空间中的线性微分方程
在这里要引出对相似矩阵的概念理解

2.5.1 微分方程是线性变换

2.5.2 傅里叶变换是基底变换

傅里叶变换的思想：
如果直接求解微分方程不会做，先把$f(x)$f(x)经过傅里叶变换(基底变换)成$g(k)$g(k)，再对$g(k)$g(k)求解。
问题简化成“解多项式方程”。

时域空间中$f(x)$f(x)与频域空间中$g(k)$g(k)的关系：

为什么要将$f(x)$f(x)转成$g(k)$g(k)计算？
$g'(k)=(-ik)g(x)$g′(k)=(−ik)g(x)，发现：我们依然可以用g(k)来表示g(k)的导数。这样就可以将微分方程$\to$→多项式方程，解起来简单多了。

-eg：
求解线性微分方程$f''+3f'+2f=0$f′′+3f′+2f=0。

2.5.3 相似矩阵

依据前面利用傅里叶变换求解问题的思想：
拿到一个问题，正面直接求解我们不会做。
但若存在一种转换方法，将原问题转化成另外一个问题，又能将问题再转换回原问题。并且这种转换方法往往使得计算更简单。
在这个变换过程中，注意T必须是可逆的。

• 根据这种思想，得到相似矩阵的概念：

若$A=T^{-1}BT$A=T−1BT，则称A相似于B。

单对数学表达式进行观察，我们似乎很容易得到：“一个矩阵B 与 对其右乘矩阵T再左乘矩阵T的逆矩阵得到的矩阵A相似”这种表面上的定义方式，但更应该清楚这到底是怎么得来的，以及为什么要有这种定义和操作。

三、线性空间的理解

详见：
线性代数学习笔记（一）：线性空间的理解

四、矩阵的理解

详见：
线性代数学习笔记（三）：矩阵的理解