SLAM基础之李群和李代数

在做SLAM研究的时候，会涉及到对旋转矩阵求导的问题。然而矩阵求导中多个变换矩阵相加问题很难解决，这时候需要使用矩阵李群的知识，将旋转或者变换等矩阵李群形式，映射到李代数上求解。

李群和李代数

群的概念：群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。

记集合为A，运算为 · ，那么当运算满足以下性质时，称 (A, · )成群：

我们可以根据群的概念验证得到：

（1）旋转矩阵集合与矩阵乘法构成群

（2）变换矩阵集合与矩阵乘法构成群

在SLAM当中，我们常用到的群一般有特殊正交群和特殊欧氏群两种

李群

李群主要是指：

具有连续（光滑）性质的群。既是群也是流形。

直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故SO(3)和SE(3)都是李群。

但是，SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限、求导等操作。所以我们引出了李代数的概念。

李代数

李代数：与李群对应的一种结构，位于向量空间。事实上是李群单位元处的正切空间。

我们通过旋转矩阵来引出李代数，考虑任意旋转矩阵R，满足

令R随时间变化（连续运动），有：

两侧对时间求导，可得：

整理可得：

可以看出，这是一个反对称矩阵，记为：

两侧右乘R(t)：

可以认为，对R求导后，左侧多出一个∅(t)

单位元附近展开，

可见∅反映了一阶导数性质，它位于正切空间（tangent space）上，在t0附近，假设∅不变，有微分方程：

已知初始情况：R(0)=I ，解之，得：

上式说明，对任意t，都可以找到一个R和一个的∅对应关系，该关系称为指数映射。

在这里这个∅称为SO(3)对应的李代数：so(3)

现在，我们来定义一下李代数：

其中二元运算[,]被称为李括号，直观上说，李括号表达了两个元素的差异。

对于每个李群，都有与之对应的李代数，李代数描述了李群单位元附件的正切空间性质。

那么对于李代数so(3)，我们可以定义

其中

李括号内的运算为：

同理可得，SE(3)亦有李代数se(3)

指数映射和对数映射

指数映射反映了从李代数到李群的对应关系

但是ϕ^是一个矩阵，对于矩阵，如何定义求指数运算？

由于ϕ^是向量，定义其角度和模长可得：

然后对exp(ϕ^)泰勒展开可得：

整理：

而在旋转矩阵中罗德里格斯公式即这个公式，所以，我们可以认为so(3) 的物理意义就是旋转向量。

反之，给定旋转矩阵时，亦能求李代数：

称为对数映射

但实际当中没必要这样求，矩阵到向量的转换关系可以由矩阵的迹得到

在此我们已经得出了李群和李代数的对应关系，下面总结一下在SO(3)和SE(3)中的对应关系。

李代数求导与扰动模型

我们了解到李群跟李代数的对应关系之后，我们回到最初的问题中来，当初就是考虑到旋转矩阵没有加法，所以我们无法定义导数，那么，现在我们该怎么定义导数模型呢？

我们假想，当在李代数中做加法时，是否等价于在李群上做乘法呢？ 即：

在使用标量的时候，该式明显成立，然而这儿ϕ^是个矩阵，我们可以使用BCH公式近似：

其中方括号为李括号。

可以得到，当其中一个量为小量时，忽略其高阶项，BCH具有线性近似形式

这里有左雅克比为

右雅克比为：

所以，以左乘为例，即在李群上左乘小量时，李代数上的加法相差左雅可比的逆

同样，李代数上进行小量加法时，相当于李群上左（右）乘一个带左（右）雅可比的量

SE(3)比SO(3)更复杂：

因为在使用过程中用到的不多，所以暂时不展开讨论。

综上：通过BCH线性近似，可以定义李代数上的导数，旋转后的点关于旋转的导数可以不严谨地记为：

由于R没有加法，导数无从定义，所以存在两种解决办法：

1.对 R 对应的李代数加上小量，求相对于小量的变化率（导数模型）；

2.对 R 左乘或右乘一个小量，求相对于小量的李代数的变化率（扰动模型）。

对于导数模型，有：

由于雅克比矩阵比较不好运算，考虑扰动模型，

本文主要参考高翔博士的视觉SLAM十四讲以及他在深蓝学院的讲课讲义