《管理经济学》公式大全

数学的基本知识

1.导数又名微商， 当函数y=f(x)的自变量x在X₀上产生一个增量$\Delta$Δx时，函数输出值的增量$\Delta$Δy与自变量增量$\Delta$Δx的比值在$\Delta$Δx趋于零时的极限。

导数是函数的局部性质， 一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。 如果函数的自变量和取值都是实数的话，函数在某一点的导数就是该函数所代表的曲线在这一点上的切线斜率。

Xⁿ的导数：先将系数乘以指数，然后再将指数降一次。

常数的导数是0。

2.斜率表示一条直线或曲线的切线关于横坐标轴倾斜程度的量，它通常用直线或曲线的切线与横坐标轴夹角的正切或两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。

斜率就是一条边与横坐标的夹角，夹角越大，斜率越大 。

斜率的计算方法 ： 纵坐标与横坐标之间的差值，

3.求最大值或最小值需要求函数二阶导数，令二阶导数小于零即可求出最大值，反之最小值

需求价格弹性

• 公式

$需求价格弹性系数（Ed）=\frac{需求量变动的百分比}{价格变动的百分比}$需求价格弹性系数（Ed）=价格变动的百分比需求量变动的百分比​

$E_d = \frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\delta P}{P}}=\frac{\Delta Q}{\Delta P}*\frac{P}{Q}$Ed​=PδP​QΔQ​​=ΔPΔQ​∗QP​

弧弹性（题目中给了两个点，用弧弹性）

$E_d=\frac{Q_2-Q_1}{P_2-P1}*\frac{P_1+P_2}{Q_1+Q_2}$Ed​=P2​−P1Q2​−Q1​​∗Q1​+Q2​P1​+P2​​

点弹性（题目中给了函数表达式，用点弹性）

$E_d=\lim_{\Delta P \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta P}*\frac{P}{Q}=\frac{dQ}{dP}*\frac{P}{Q}$Ed​=ΔP→0lim​ΔPΔQ​∗QP​=dPdQ​∗QP​

• 需求价格弹性的种类和图像

  Ed=0，则称为该商品的需求对其价格变动完全无弹性；

  Ed<1，则称该商品的需求对其价格变动缺乏弹性；

  Ed=1，则称该商品的需求对其价格变动为单位弹性；

  Ed>1，则称该商品的需求对其价格变动富有弹性；

  Ed=$\infty$∞，则称该商品的需求对其价格变动具有完全弹性，也称需求对其价格变动的具有无限弹性。

	涨价	降价
弹性：$Ed>1 $	减少	增加
弹性：$Ed<1$Ed<1	增加	减少
弹性：$Ed=1$Ed=1	不变	不变
弹性：$Ed=$0
弹性：$Ed=\infty$Ed=∞

需求收入弹性

$需求收入弹性系数（Ed）=\frac{需求量变动的百分比}{收入变动的百分比}$需求收入弹性系数（Ed）=收入变动的百分比需求量变动的百分比​

$E_d = \frac{\frac{\Delta Q}{Q}}{\frac{\delta M}{M}}=\frac{\Delta Q}{\Delta M}*\frac{M}{Q}$Ed​=MδM​QΔQ​​=ΔMΔQ​∗QM​

弧弹性（题目中给了两个点，用弧弹性）

$E_d=\frac{Q_2-Q_1}{M_2-M_1}*\frac{M_1+M_2}{Q_1+Q_2}$Ed​=M2​−M1​Q2​−Q1​​∗Q1​+Q2​M1​+M2​​

点弹性（题目中给了函数表达式，用点弹性）

$E_d=\lim_{\Delta M \to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta M}*\frac{M}{Q}=\frac{dQ}{dM}*\frac{M}{Q}$Ed​=ΔM→0lim​ΔMΔQ​∗QM​=dMdQ​∗QM​

需求交叉弹性

$需求交叉弹性系数（Ed）=\frac{X商品需求量变动的百分比}{Y商品价格变动的百分比}$需求交叉弹性系数（Ed）=Y商品价格变动的百分比X商品需求量变动的百分比​

$E_c = \frac{\frac{\Delta Qx}{Qx}}{\frac{\delta Py}{Py}}=\frac{\Delta Qx}{\Delta Py}*\frac{Py}{Qx}$Ec​=PyδPy​QxΔQx​​=ΔPyΔQx​∗QxPy​

弧弹性（题目中给了两个点，用弧弹性）

$E_c=\frac{Qx_2-Qx_1}{Py_2-Py_1}*\frac{Py_1+Py_2}{Qx_1+Qx_2}$Ec​=Py2​−Py1​Qx2​−Qx1​​∗Qx1​+Qx2​Py1​+Py2​​

点弹性（题目中给了函数表达式，用点弹性）

$E_c=\lim_{\Delta Py \to 0}\frac{\Delta Qx}{\Delta Py}*\frac{Py}{Qx}=\frac{dQx}{dPy}*\frac{Py}{Qx}$Ec​=ΔPy→0lim​ΔPyΔQx​∗QxPy​=dPydQx​∗QxPy​

供给价格弹性

• 公式

• 需求价格弹性的种类和图像

生产函数的技术系数

	生产要素的配合比例	生产要素之间的关系	对应生产函数	例子
固定技术系数	固定不变	不能替代	固定技术系数（固定配合比例）的生产函数	如：自行车只能1个车架对应两个*
可变技术系数	可变	可以替代	可变技术系数（可变配合比例）的生产函数	如：造纸厂可以雇佣任何数量工人和使用任何数量机器

柯布-道格拉斯生产函数

$Q=AL^\alpha K^\beta$Q=ALαKβ

式中：Q是制造业生产量；L为劳动投入要素；K为资本投入要素；A和$\alpha$α、$\beta$β都是正的常数，常用的假定是A=1，a+b=1，这样：

$Q=L^\alpha K^{1-\alpha}$Q=LαK1−α

总产量、平均产量和边际产量

总产量（$TP$TP）是指一定量的某种生产要素所生产出来的全部产量

$TP_L=Q=f(L,\overline K)$TPL​=Q=f(L,K)

平均产量（$AP$AP）是指平均每单位某种生产要素所生产出来的产量

$AP_L=\frac{TP_L}{L}$APL​=LTPL​​

边际产量（$ML$ML）是指某种生产要素每增加一单位所增加的产量

$MP_L=\frac{\Delta Q}{\Delta L}=\frac{\Delta TP_L}{\Delta P}$MPL​=ΔLΔQ​=ΔPΔTPL​​

$MP_L=\frac{dQ}{dL}=\frac{dTP_L}{dP}$MPL​=dLdQ​=dPdTPL​​

边际产品价值

边际产品价值（value of marginal product,$VMP$VMP）是指每增加一个单位某种可变生产要素所增加的收入，如果假定生产要素为L，则这种变动要素的边际产品价值的计算公式为：

$VMP_L=\frac{\Delta TR}{\Delta L}=\frac{\Delta TR}{\Delta Q}*\frac{\Delta Q}{\Delta L}=MR*MP_L$VMPL​=ΔLΔTR​=ΔQΔTR​∗ΔLΔQ​=MR∗MPL​

如果产品价格不变，则边际收益与产品价格相等

$VMP_L=MP_L*P$VMPL​=MPL​∗P

例如：增加一单位劳动，可以增加两件产品，每件产品的单价为6元，则边际产品价值为12元。即每增加一单位劳动可以增加收入12元。

生产要素的边际成本

生产要素的边际成本（marginal factor cost ，$MFC$MFC）也称边际要素成本，是指每增加使用一单位的某种可变生产要素所增加的成本。假定这种变动要素为L，则L生产要素的边际成本为

$MFC_L=\frac{\Delta TC}{\Delta L}$MFCL​=ΔLΔTC​

假设这种变动要素L的价格为$P_L$PL​，并且假定要素的价格固定不变，并且在企业投入要素中，确定只有L要素是唯一可变要素，则L生产要素的边际成本可以表示为

$MFC_L=P_L$MFCL​=PL​

最佳投入量

$VMP_L=MFC_L$VMPL​=MFCL​

假定生产过程中可变要素唯一且价格既定时，生产要素的边际成本等于变动生产要素的价格，则变动生产要素最佳投入量的均衡条件为：

$VMP_L=P_L$VMPL​=PL​

边际技术替代率

边际技术替代率（marginal rate of technical substitution，$MRTS$MRTS）是指为了维持相同产量水平，增加一种生产要素的数量与可以减少的另一种生产要素的数量之比。

设两种可替代的投入要素分别为L与K，则边际技术替代率可表示为：

$MRTS_{LK}=-\frac{\Delta K}{\Delta L}$MRTSLK​=−ΔLΔK​

• 边际技术替代率递减规律

在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能代替的另一种生产要素的数量是递减的。

原因：边际收益递减规律

$MRTS_{LK}=\frac{MP_L}{MP_K}$MRTSLK​=MPK​MPL​​

等成本线

等成本线是一条表明成本与生产要素价格既定的条件下，可以购买到的两种生产要素数量的最大组合的线。

$P_L*L+P_K*K=C$PL​∗L+PK​∗K=C

等成本线的斜率(k)=$-\frac{P_L}{P_K}$−PK​PL​​

等成本线的斜率的绝对值等于两种投入要素的价格之比。

生产要素最佳组合原则

无论是既定产量，成本最小还是既定成本产量最大，其要素投入最佳组合点都在等产量曲线和等成本曲线相切的切点上，在切点上由于等产量曲线的斜率的绝对值，正好等于等成本线的斜率的绝对值，而等产量曲线的斜率的绝对值为边际技术替代率，等成本线的斜率的绝对值为深海要素的价格之比，所以企业投入要素最佳组合的均衡条件是 ：

边际技术替代率：$MRTS_{LK}=\frac{MP_L}{MP_K}$MRTSLK​=MPK​MPL​​

等成本线斜率的绝对值：$MRTS_{LK}=\frac{P_L}{P_K}$MRTSLK​=PK​PL​​

原式：$\frac{MP_L}{MP_K}=\frac{P_L}{P_K}$MPK​MPL​​=PK​PL​​

变形：$\frac{MP_L}{P_L}=\frac{MP_K}{P_K}$PL​MPL​​=PK​MPK​​

技术进步对经济增长的贡献的测度公式

$G_A=G_Q-(\alpha G_L+\beta G_K)$GA​=GQ​−(αGL​+βGK​)

全部产量增长率记为G_Q

劳动增长率记为G_L

资本增长率记为G_K

因技术进步引起的产量增长率记为G_A

短期成本分析

总固定成本（$TFC$TFC）

总固定成本（$TFC$TFC）曲线为一条平行于X轴的直线，它表明总固定成本不随数量的变化而变化

总变动成本（$TVC$TVC）

总变动成本（$TVC$TVC）曲线是一条从原点向右上方不断上升的曲线。

短期总成本($STC$STC)

短期总成本（$STC$STC）是指在短期内生产一定量产品所消耗的全部成本。它又可再分为总固定成本（$TFC$TFC）和总变动成本（$TVC$TVC）。

短期总成本=总固定成本+总变动成本

$STC=TFC+TVC$STC=TFC+TVC

平均固定成本（$AFC$AFC）

$AFC=\frac{TFC}{Q}$AFC=QTFC​

含义：算出每一个产品所分摊的固定成本

是一条随产量不断增加而下降的双曲线

平均变动成本（$AVC$AVC）

$AVC=\frac{TVC}{Q}$AVC=QTVC​

含义：算出每一个产品所分摊的变动成本

是一条呈U型的曲线，最初随着产量的增加，生产要素效率得到充分发挥，平均变动成本不断下降，但下降到一定程度以后，由于边际收益递减规律的作用，AVC随着产量的增加而增加。AVC曲线的最低点与平均产量曲线的的最高点相对应。（平均变动成本最低点就是平均产量最高点）

短期平均成本（$SAC$SAC）

$SAC=\frac{TC}{Q}$SAC=QTC​ 或 $SAC=AVC+AFC$SAC=AVC+AFC

含义：算出每一个产品所分摊的成本

短期边际成本（$SMC$SMC）

短期边际成本（$SMC$SMC）是指企业在短期内每增加一单位产品所增加的成本。

短期边际成本曲线（$SMC$SMC）也呈“U”型，即边际成本曲线是一条先下降后上升的曲线，这同样是由于边际收益递减规律作用的结果。

短期边际成本=短期总成本的增量/总产量的增量

$SMC=\frac{\Delta STC}{\Delta Q}$SMC=ΔQΔSTC​

$SMC=\frac{dSTC}{dQ}$SMC=dQdSTC​

边际成本是指每增加一个单位产量所增加的成本，一般固定成本不会变动，所以可以不用计算固定成本。

原式：

$SMC=\frac{\Delta STC}{\Delta Q}$SMC=ΔQΔSTC​

变形：

$SMC=\frac{\Delta TFC +\Delta TVC}{\Delta Q}$SMC=ΔQΔTFC+ΔTVC​

不计算固定成本：

$SMC=\frac{\Delta TVC}{\Delta Q}$SMC=ΔQΔTVC​

边际分析

总收益

总收益（TR）是指企业销售一定量产品所得到的全部收入

总收益=商品单价*销量

即：

TR=P*Q

平均收益

平均收益（AR）是指企业销售每一单位产品平均所得到的收入。其计算公式为：

平均收益=总收益/销量

即：

$AR=\frac{TR}{Q}=\frac{P*Q}{Q}=P$AR=QTR​=QP∗Q​=P

边际收益

边际收益（MR）是指企业每增加销售一单位产品所增加的收入。其计算公式为：

边际收益=总收益增量\销售增量

即：

$MR=\frac{\Delta TR}{\Delta Q}$MR=ΔQΔTR​ 或 $MR=\frac{dTR}{dQ}$MR=dQdTR​

利润最大化原则

$\pi=TR-TC$π=TR−TC

规律
TR-TC>0	企业获得超额利润
TR-TC<0	企业亏损
TR-TC=0	超额利润等于零，可以获得正常利润

利润最大化原则：$MR=MC$MR=MC

若MR>MC，每增加一单位产出所获取的收益大于为此而付出的成本，则企业应该增加产出。

若MR<MC，每增加以单位产出所获得的的收益小于为此而付出的成本，则企业应该减少产出。

若MR=MC，表示在现有生产状态下，每增加以单位产出所获取的收益等于为此而出的成本，则企业达到最大利润，应该维持现有产出。

盈亏平衡点

TR=TC

保本产量（盈亏平衡时的产量）

当企业盈亏平衡时：TR=TC

即：$P*Q=TFC+AVC*Q$P∗Q=TFC+AVC∗Q

所以，保本产量为：

$Q^*=\frac{TFC}{P-AVC}$Q∗=P−AVCTFC​

目标利润确定目标销售量

$TR=TC+\pi ^*=TFC+AVC*Q+\pi ^*$TR=TC+π∗=TFC+AVC∗Q+π∗

$TR=P*Q$TR=P∗Q

将以上公式联立：

$TFC+AVC*Q+\pi^*=P*Q$TFC+AVC∗Q+π∗=P∗Q

$Q''=\frac{(TFC+\pi^*)}{(P-AVC)}$Q′′=(P−AVC)(TFC+π∗)​

Q’'就是企业为实现目标利润$\pi^*$π∗ 所必须实现的销售量。

边际转换率

假设某企业在现有资源条件下可以生产X与Y两种产品，则边际转换率的公式可以表述为：

$MRT_{xy}=-\frac{\Delta Y}{\Delta X}$MRTxy​=−ΔXΔY​

$MRT_{xy}=-\frac{MC_X}{MC_Y}$MRTxy​=−MCY​MCX​​

等收益曲线

等收益曲线是指在既定收入条件下，所必须生产的两种产品的最大数量组合的轨迹

等收益曲线的方程为：

$TR=P_X*X+P_Y*Y$TR=PX​∗X+PY​∗Y

等收益线的斜率的绝对值等于两种产品的价格之比

等收益线的斜率=$-\frac{P_X}{P_Y}$−PY​PX​​

产品产量最佳组合

将生产可能性曲线和等收益曲线斜率联立

最佳组合均衡条件：

$\frac{MC_X}{P_X}=\frac{MC_Y}{P_Y}$PX​MCX​​=PY​MCY​​

企业短期决策

利润最大化

总收益=长方形ONEM

总成本=长方形ODFM

总收益大于总成本，继续生产

总收益=长方形ONEM

总成本=长方形ONEM

总收益等于总成本，企业既没有亏损又没有超额利润，只能获得正常利润。所以该点也被称为企业的盈亏平衡点。

企业亏损极小化决策

如果企业面临的市场价格要低于平均变动成本，即P＜AVC，或者TR＜TVC ，企业应该选择停产

如果企业面临的市场价格等于平均变动成本，即P=AVC或TR=TVC ，就表明企业继续生产和停产，亏损额都为固定成本，生产和停产的效果完全一样，但是，在实际的生产经营中，企业在此时往往会选择继续生产。

P≥AVC就是停止营业点（或生产关闭点）

计算当这三条线相等的时候（AVC=SMC=（AR=MR=P））解出价格，该价格即为低于此价格时应该停产的停止营业点

长期均衡

长期均衡的条件为：$MC=AC=（MR=AR=P）$MC=AC=（MR=AR=P）

定价实践

成本加成定价法

$P＝AC（1＋m）$P＝AC（1＋m）

公式中：P为产品价格，AC为平均总成本，m为成本加成率。

成本加成率

$m=\frac{-1}{E_P+1}$m=EP​+1−1​

目标收益定价法

目标利润额＝总投资额×目标收益率