写在前面：在引入了连续型随机变量的概率密度函数 $f(x)$f(x) 及其分布函数$F(x)$F(x) 之后，我们求概率就有了一个利器：积分。譬如：计算 $P\{a≤X≤b\}$P{a≤X≤b} 的概率，我们可以表示成：$\int_a^bf(x)dx$∫ab​f(x)dx，类似地，如果求 $P\{X≤b\}$P{X≤b}，就是 $\int_{-∞}^bf(x)dx$∫−∞b​f(x)dx

一、均匀分布

首先，我们看看满足均匀分布的概率密度函数：$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}\quad a≤x≤b\\ 0\quad else\\ \end{cases}$f(x)={b−a1​a≤x≤b0else​
记作：$X$X ~ $U[a, b]$U[a,b]，下面我们来看看均匀分布的分布函数 $F(x)$F(x)：
【1】当 $x<a$x<a 时：$F(x) = 0$F(x)=0
【2】当 $a ≤ x < b$a≤x<b 时：$F(x) = \int_{-∞}^af(x)dx+\int_{a}^xf(x)dx =\frac{x-a}{b-a}$F(x)=∫−∞a​f(x)dx+∫ax​f(x)dx=b−ax−a​
【3】当 $x≥b$x≥b 时，$F(X) = 1$F(X)=1

下图是均匀分布的概率密度函数以及分布函数的图片：

说明一个技巧：当题目说了某一个事件服从均匀分布时，我们就可以找到这个随机变量 X 的范围，或者说区间。那么事件在这个区间的概率密度函数都是 区间长度的倒数。

二、指数分布

指数分布的概率密度函数表示为：$f(x) = \begin{cases} λe^{-λx} \quad x>0\\ 0\quad x ≤ 0 \end{cases}$f(x)={λe−λxx>00x≤0​
我们记作：$X$X~$EXP(λ)$EXP(λ)，同样地，我们一起计算一下它的分布函数：
【1】当 $x<0$x<0时，$F(x) = 0$F(x)=0
【2】当 $0 ≤ x$0≤x时，$F(x) = \int_{-∞}^0f(x)dx + \int_{0}^xλe^{-λx}dx =1-e^{-λx}$F(x)=∫−∞0​f(x)dx+∫0x​λe−λxdx=1−e−λx

2.1 指数分布的无记忆性

在上一篇 $Blog$Blog 里面，我们也介绍了几何分布的无记忆性。对于指数分布，也是有一样的性质。即表示为：$P\{X>s+t|X>s\} = P\{X>t\}$P{X>s+t∣X>s}=P{X>t}
我来解释解释这个式子，我们知道，对于寿命类问题常常满足指数分布。那么我们就以灯泡的寿命为例：

我们具体化一下，假设 $s = 1000$s=1000，$t = 10$t=10。那么上面的式子中，$P\{X>s+t|X>s\}$P{X>s+t∣X>s} 可以解释成：灯泡在已经用了 1000 小时之后，还能继续用 10 小时的概率。

$P\{X>t\}$P{X>t} 可以解释成：灯泡刚买回来，（没用过的前提下）可以用 10 个小时的概率。

也就是说，只要你这个灯泡现在这个时刻是好的，那么不管你以前亮了多久，以后亮相同时间的概率完全一样！

我们证明一下：首先是等式的左边 $P\{X>s+t|X>s\}$P{X>s+t∣X>s}
$P\{X>s+t|X>s\} = P\{\{X>s+t\}∩\{X>t\}\}$P{X>s+t∣X>s}=P{{X>s+t}∩{X>t}}
我们画一下这两个区间 $\{X>s+t\}${X>s+t} 和 $\{X>t\}${X>t} 的 交集，我们就会发现：$P\{X>s+t|>s\} = P\{X>s+t\}$P{X>s+t∣>s}=P{X>s+t}
$P\{X>s+t\} = \int_{s+t}^{+∞}λe^{-λx}dx =e^{-λt}$P{X>s+t}=∫s+t+∞​λe−λxdx=e−λt
同理我们可以计算得到：$P\{X>t\} = e^{-λt}$P{X>t}=e−λt

三、正态分布（important）

3.1 一般正态分布

对于一般的正态分布，我们的概率密度函数用小写字母：$φ$φ 表示，即：$φ(x) = \frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^{-\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}$φ(x)=2π​σ1​e−2σ2(x−μ)2​
注意：那个 $σ$σ 是在根号外面的！! 这个式子相当难记忆，不过没关系，我们最重要的只是把 $μ$μ， $σ$σ 找出来就可以了。一般记为：$X$X ~ $N(μ, σ^2)$N(μ,σ2)

下面我们看看这个概率密度函数都有什么性质：

【性质1】：$\int_{-∞}^{+∞}φ(t)dt=1$∫−∞+∞​φ(t)dt=1 这个很显然，总概率是1 没毛病，但是想要证明还是不容易的，这需要我们在微积分里面的一个结论：$\int_{-∞}^{+∞}e^{-x^2}dx = \sqrt{π}$∫−∞+∞​e−x2dx=π​
这个式子大家还是需要记忆一下的，毕竟这货挺难算的hhh，证明的话，我们简单看看吧：$\begin{aligned} &\quad\frac{1}{\sqrt{2π}σ}\int_{-∞}^{+∞}e^{-(\frac{t-μ}{\sqrt{2}σ})^2}dt\\ &=\sqrt{2}σ\frac{1}{\sqrt{2π}σ}\int_{-∞}^{+∞}e^{-(\frac{t-μ}{\sqrt{2}σ})^2}d(\frac{t-μ}{\sqrt{2}σ})\\ &=\frac{1}{\sqrt{π}}\sqrt{π} = 1 \end{aligned}$​2π​σ1​∫−∞+∞​e−(2​σt−μ​)2dt=2​σ2π​σ1​∫−∞+∞​e−(2​σt−μ​)2d(2​σt−μ​)=π​1​π​=1​

【性质2】：这个正态分布的概率密度函数关于 $μ$μ 对称，这个好理解，因为有：$(x-μ)^2$(x−μ)2这一项

当 $x = μ$x=μ 时，$φ(x)$φ(x) 取得最大值：$\frac{1}{\sqrt{2π}σ}$2π​σ1​

【性质 3】正态分布的概率密度函数以 x 轴作为渐近线

【性质 4】当 $σ$σ 固定时，改变 $μ$μ 的大小将会导致 $φ(x)$φ(x) 沿着水平方向左右平移。
另外，当 $μ$μ固定，也就是曲线的对称轴不变的时候，如果 ：

1. $σ$σ 增大，那么函数的峰值降低，函数变胖，注意任何形状的函数与 x 轴围成的面积都是一样的 1
2. $σ$σ 减小，函数的峰值增大，函数形状得高瘦
   

对于一般正态分布的分布函数，还是一样的按照定义积分：$Ф(x) = \int_{-∞}^xφ(t)dt$Ф(x)=∫−∞x​φ(t)dt
不过这个式子积不出来，所以我们一般很少用到。

3.2 标准正态分布

当 $μ$μ = 0，$σ = 1$σ=1 时，我们成为标准正态分布。即：$X$X ~ $N(0, 1)$N(0,1)，分别把 $μ$μ = 0，$σ = 1$σ=1 带入上面一般正态分布的概率密度函数，我们可以得到标准正态分布的概率密度函数：$φ_0(x) =\frac{1}{\sqrt{2π}}e^{-\frac{x^2}{2}}$φ0​(x)=2π​1​e−2x2​

它也有几个性质，我们一起来看看：
【性质1】：$φ_0(x)$φ0​(x) 是钟形曲线，而且是偶函数，即$φ_0(x) = φ_0(-x)$φ0​(x)=φ0​(−x)

【性质2】（重要）：$Ф_0(x) = 1 - Ф_0(-x)$Ф0​(x)=1−Ф0​(−x)

【性质3】一般我们计算正态分布的概率，用的也是查表。一般来讲，表中只给了 $0≤x≤5$0≤x≤5的值，当 $x>5$x>5 时，我们认为：$φ_0(x) = 0$φ0​(x)=0， $Ф_0(x) = 1$Ф0​(x)=1；当 $x<-5$x<−5 时，我们认为：$φ_0(x) = 0$φ0​(x)=0， $Ф_0(x) = 0$Ф0​(x)=0

当 $-5<x≤0$−5<x≤0 时，要计算 $Ф_0(x)$Ф0​(x)，我们可以先通过：$1-Ф_0(-x)$1−Ф0​(−x) 反向求得

3.3 一般正态分布化为标准正态分布

这里我直接把在纸上演算的过程贴上来（公式打起来太费劲了hhh）：

接下来是分布函数的转换：

我们发现，对于概率密度函数而言，出了把 $φ$φ 里面的变量换成：$\frac{x-μ}{σ}$σx−μ​，还需要补一个系数 $\frac{1}{σ}$σ1​，而对于分布函数的转换，就直接把变量改写成：$\frac{x-μ}{σ}$σx−μ​ 就OK

我们举几个例子看看：
【例子一】：假设 $X$X ~ $N(1,4)$N(1,4)，求：$P\{0<X≤1.6\}$P{0<X≤1.6}
首先明确，这是一个一般的正态分布，且 $μ = 1$μ=1， $σ = 2$σ=2。

$P\{0<X≤1.6\} = = Ф(1.6) - Ф(0)$P{0<X≤1.6}==Ф(1.6)−Ф(0)

此时，我们还需要把它转化为标准正态分布，因此有：$Ф(1.6) = Ф_0(\frac{1.6-1}{2}) = Ф_0(0.8)\\ \quad\\ Ф(0) = Ф_0(\frac{0-1}{2}) = Ф_0(-0.5)$Ф(1.6)=Ф0​(21.6−1​)=Ф0​(0.8)Ф(0)=Ф0​(20−1​)=Ф0​(−0.5)

所以原式子变为：$Ф(1.6) - Ф(0) = Ф_0(0.8) - Ф_0(-0.5) = Ф_0(0.8) - 1 + Ф_0(0.5)$Ф(1.6)−Ф(0)=Ф0​(0.8)−Ф0​(−0.5)=Ф0​(0.8)−1+Ф0​(0.5)

3.4 3σ准则

这个准则有一张图就能解释明白：

也就是说事件发生在 ：$μ-3σ ≤ X ≤ μ +3σ$μ−3σ≤X≤μ+3σ 的概率是 99.73%，概率非常高。