单球面折射的齐明点

最近在看钟锡华先生编著的《现代光学基础》，第一章介绍齐明点时给出了一个例子，就是今天要讨论的单球面折射时的齐明点。书中给出了齐明点的位置，但是没有给推导过程。我就试着推导了一下，放在这里做个笔记。
齐明点(aplanatic points)又称为等光程点或不晕点。简单的说就是在此处发出的光线经过折射后可以精确汇聚于一点，没有球差、彗差和像散。
如下图：

Q0 点是物点，Q′0 点是像点。物点向右方射出的光线要求都能汇聚到像点上。其中圆球内的折射率为n ,外部为 n′，并且n>n′ 。根据三角形正弦定理，可知如下两组关系：

由折射定律我们还知道：

前两个式子可以变个形，同时利用折射定律：

根据三角形内角和关系，我们还有：

观察上面的式子，我们发现如果让：

那么 i′=u, i=u′。 这时：

是个定值。也就是说无论入射角u 是多少，都会汇聚到同样一个点。这一对点就称为齐明点。

第一个发现齐明点的人很了不起，我知道结论了都推导了小半天。。。

齐明点对显微镜镜头设计很有用，物镜为了收集物体发出的更多的光，无法满足傍轴条件。利用齐明点的特性，只要将物体放置在物镜最前面镜片的齐明点上，就能消除像差。当然具体实现起来还有各种技巧，这里就不多说了。下一篇博客讲讲阿贝正弦定理。