求解矩阵的逆

使用线性系统 求解 矩阵的逆
什么是矩阵的逆 ==>
矩阵中 AB=BA=Ｉ ，则称B是A的逆矩阵，记作 B = A的负一次方
只有方阵才有逆矩阵

假设矩阵A有逆矩阵，如何求解？
举例
假设A有逆矩阵，所以 ==>

所以 I 有两行，且为方针，所以A的逆矩阵为２ｘ２矩阵 ==>

综上，根据已知条件 联立方程组 ==>


==>

==>

综上，求矩阵的逆，本质上可以归类于求解线性方程组。

左边是两个未知数两个方程组，右边也是，那其实也可以不用联立成为一个方程组，分开计算也可行。

将坐标的方程组 化为 增广矩阵 采用 高斯-约旦消元法 ==>

右侧方程组 同理 ==>
==>

发现 两个方程组在化为 增广矩阵后， 两个增广矩阵的 系数矩阵是相同的 。

==> 将2个增广矩阵合在一起

==>

对于 n 阶的矩阵 ==>

如果将左侧的系数矩阵A进行高斯-约旦操作后，左侧的矩阵变为了一个单位矩阵，那就说明这个矩阵是存在唯一解的，那他的逆就在右侧。

继续以上式为例
执行高斯-约旦消元法 ==>
正向过程 ==>

反向过程 ==>

所以 A的逆矩阵 就是 ==>

求解矩阵的逆 --细节问题

举例

==> 不可能有无数解
在执行高斯-约旦消元法操作后，有无数解的矩阵应该存在一个全零行，由于存在全零行，才意味着整个增广矩阵，在系数矩阵中有自由列，对于自由列上的变量，可以任意取值，才相应的有无数解。

==> 可能无解，此时矩阵A没有逆矩阵
什么情况下无解？
==> 在对左侧的系数矩阵进行高斯-约旦消元法时，一旦存在0行，则无解。

==> 该求矩阵逆的方法遗留了一个问题

但是存在性质，如果一个方阵A有右逆B，则B也是A的左逆，即B是A的逆。
后续证明。