图像的矩

原理

图像的矩是对图像特征描述的一个量，大小为 $M \times N$ 图像可以看成二维的随机变量 $(x,y)$

从而定义二维的 $(p+q)$ 的空间矩为： $m_{pq}=\sum_{0}^{M-1} \sum_{0}^{N-1} {x^py^qf(x,y)} \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space 其中p，q是0,1,2...整数$

$m_{00}=\sum_{0}^{M-1} \sum_{0}^{N-1} {f(x,y)}\space\space 相当于总质量$
$m_{01}=\sum_{0}^{M-1} \sum_{0}^{N-1} y{f(x,y)}，\space \space m_{10}=\sum_{0}^{M-1} \sum_{0}^{N-1} x{f(x,y)}，\bar{x}=\frac{m_{10}}{m{_{00}}}\space \space \space \space \bar{y}=\frac{m_{01}}{m{_{00}}} \space \space \space \space(\bar{x},\bar{y})相当于质心$

相应的 $(p+q)$ 阶中心矩： $\mu_{pq}=\sum_{0}^{M-1} \sum_{0}^{N-1}{(x-\bar{x})^p(y-\bar{y})^q}f(x,y) \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space 其中p，q是0,1,2...整数$ $\bar{x}=\frac{m_{10}}{m{_{00}}}\space \space \space \space \bar{y}=\frac{m_{01}}{m{_{00}}} \space \space \space \space \space \space(\bar{x},\bar{y})相当于质心$

归一化的中心矩 $\eta_{pq}$ ： $\eta_{pq}=\frac{\mu_{pq}}{\mu_{00}^{\gamma}} \space \space \space \space \space \space \space 其中 \space \gamma=\frac{p+q}{2}+1，\space \space\space \space p+q=2,3...$

由二阶矩和三阶矩推出以下7个不变矩组（Hu不变矩）：

图像的矩
Hu不变矩对平移、尺度变化、镜像（ $hu[6]$ 符号改变）、和旋转是不变的，可以作为很好的图像的特征。

代码

#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <iostream>

using namespace cv;
using namespace std;

Mat src_gray;
int thresh = 100;
RNG rng(12345);

void thresh_callback(int, void*);

int main(void)
{
	
    Mat src = imread("../res/test.png");
    if(src.empty())
    {
	cout << "can't load the image" << endl;
	return -1;
    }


    cv::cvtColor(src, src_gray, cv::COLOR_RGB2GRAY);
    blur(src_gray, src_gray, Size(3,3));

    const char* sourec_window = "Source";
    namedWindow(sourec_window);
    imshow(sourec_window, src);

    const int MAX_THRESH = 255;
    createTrackbar("Canny thresh:", sourec_window, &thresh, MAX_THRESH, thresh_callback);
    thresh_callback(0,0);


    waitKey();
	

	return 0;
};


void thresh_callback(int, void*)
{
    Mat canny_output;
    Canny(src_gray, canny_output, thresh, thresh*2, 3);
    vector<vector<Point>> contours;
    cv::findContours(canny_output, contours, cv::RETR_TREE, cv::CHAIN_APPROX_SIMPLE);

    vector<Moments> mu(contours.size());
    for(size_t i=0; i<contours.size(); i++)
    {
	mu[i] = cv::moments(contours[i]);  //得到每个轮廓的moments ，记录在mu中
    }

    vector<Point2f> mc(contours.size());  //每个轮廓的质心
    for(size_t i=0; i<contours.size(); i++)
    {
	mc[i] = Point2f(
		        static_cast<float>(mu[i].m10 / (mu[i].m00 + 1e-5)),
	        	static_cast<float>(mu[i].m01 / (mu[i].m00 + 1e-5))
		       ); //利用空间矩来计算质心
	cout << "mc[" << i << "]=" << mc[i] << endl;
    }

    Mat drawing = Mat::zeros(canny_output.size(), CV_8UC3);
    for(size_t i=0; i<contours.size(); i++)
    {
	Scalar color = Scalar(rng.uniform(0,256), rng.uniform(0,256), rng.uniform(0,256));
	cv::drawContours(drawing, contours, (int)i, color, 2); //画出轮廓
	cv::circle(drawing, mc[i], 4,color,-1);//画出质心
    }

    imshow("contours", drawing);


    for(size_t i=0; i<contours.size(); i++) //打印出由cv::contourArea 和cv::arcLength 计算出来的轮廓面积和周长
    {
	cout << "contours[" << i << "]" << "Area(M_00): " << std::fixed << std::setprecision(2) << mu[i].m00 << "   " 
	     << "Area OpenCV API: " << cv::contourArea(contours[i]) << "   "<< "length: " << arcLength(contours[i],true)
	     << endl; 
    }



}

结果：在中间的部分，质心基本正确，靠近边界的轮廓，质心明显往反向移，这是因为canny处理之后的图，靠近边界的只剩下一弧线，检测轮廓的时候findContours出错，将紧贴弧的周围一个像素组成的圈当成轮廓(类似于下图)，所以结果出错。

质心：
图像的矩

面积、长度：
图像的矩分析：cv::moments函数，传入的是一组点，则算出的M00其实就是面积，和OpenCV API算出来的一样

OpenCV API

计算图像的矩(最高到三阶)

Moments cv::moments

( 	    InputArray  	array,     //single-channel, 8-bit or floating-point 2D array 或者 an array ( 1×N or N×1 ) of 2D points (Point or Point2f )，图像的话，以像素为基础，比如计算M00:所有像素之和； 点组成的多边形的话，计算M00等于面积，所以上面例子，M00和OpenCV api算出来一样面积结果
		bool  	binaryImage = false  // 如果是true，非0图像像素即使1，此参数只针对图像而言
)

返回 $moments$ 的成员变量：
空间矩：m00、m01、 m02、m03、 m10、m11 、m12、m20、m21、m30
中心矩：mu02、mu03、mu11、mu12、mu20、mu21、mu30
归一化中心距：nu02、nu03、nu11、nu12、nu20、nu21、nu30

通过上面得到的moments 得到hu矩

void cv::HuMoments

( 	    const Moments &  	moments, //由上面函数得到
		double  	hu[7]  //得到7个不变矩
)

计算轮廓面积

double cv::contourArea

( 	    InputArray  	contour,  // 一组点（不是图像），可以存在vector<Point>或者Mat
		bool  	oriented = false  // false：返回是面积绝对值，true: 返回面积有正负，这样通过正负来判断轮廓点的方向（顺时针、逆时针）
)

计算轮廓周长、弧的长度

double cv::arcLength

( 	    InputArray  	curve,  // 一组点（不是图像），可以存在vector<Point>或者Mat
		bool  	closed    // 点之间是否是closed
) 	

（已经验证）比如： 三个点(0,0) ，(10,0)，(10,10); closed:true 结果是34.1421，closed:false结果是20

实例

vector<Point> contour; //创建一个由四个点组成的轮廓
contour.push_back(Point(0,0));
contour.push_back(Point(10,0));
contour.push_back(Point(10,10));
contour.push_back(Point(5,4));

Mat src(2,2,CV_8UC1, 10); //创建一个2*2 的图像



double area0 = contourArea(contour);  //计算四个点组成轮廓的面积
cv::Moments moment1 = cv::moments(contour);// 计算轮廓的矩


vector<Point> approx;
approxPolyDP(contour, approx, 5, true);  //由轮廓近似得到 多边形 approx
cv::Moments moment2 = cv::moments(approx); // 计算 approx的矩
double area1 = contourArea(approx); // 计算 approx的面积

cv::Moments moments3 = cv::moments(src); //计算Mat src的矩

cout << "Mat src M00: " << moments3.m00 << endl; //输出src矩的m00 ，相当于所有像素之和
cout << endl;

cout << "contour M00: " << moment1.m00 << endl; //contour的矩m00，
cout << "approx M00: " << moment2.m00 << endl;  //approx的矩m00，
cout << endl;

cout << "area of contourArea(contour): "<< area0 << endl; //ontourArea(contour)计算由四个点组成的面积
cout << "area of contourArea(approx): "<< area1 << endl; //contourArea(approx)计算由三个点（由轮廓近似而得到）组成面积
cout << "approx poly vertices： " << approx.size() << endl; //由轮廓contour四个点近似得到多边形approx的多少个点

图像的矩

分析：可以看出，当cv::moments()传入的参数不同，结果不同，如果传入是：

Mat src：二维图像，单通道8bit，则空间矩M00计算的是所有像素之和，
contour 或者是approx：由点组成的多边形，M00计算的是由点组成的面积，且和contourArea函数计算结果一样

原理

代码

OpenCV API

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