两连续型随机变量得到复合随机变量的分布函数及密度函数

分布函数法

$X，Y$X，Y为两个连续型随机变量，并且$(X,Y)\sim f(x,y)$(X,Y)∼f(x,y)，f为二维随机变量$(X,Y)$(X,Y)的密度函数；
对于$Z=g(X,Y)$Z=g(X,Y)，求Z的分布函数和概率密度；
$\displaystyle F_Z(z)=p\{Z\leq z\}=P\{g(X,Y)\leq z\}=\iint _{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy$FZ​(z)=p{Z≤z}=P{g(X,Y)≤z}=∬g(x,y)≤z​f(x,y)dxdy
$\displaystyle f_Z(z)=F_Z^{'}(z)$fZ​(z)=FZ′​(z)

卷积公式法

$X，Y$X，Y为两个连续型随机变量，并且$(X,Y)\sim f(x,y)$(X,Y)∼f(x,y)，如果$Z=X+Y$Z=X+Y（这里必须是一些简单的运算规则，加减乘除），并且$X，Y$X，Y独立，那么$Z$Z的概率密度为：

$\displaystyle f_Z(z)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,z-x)dx=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx$fZ​(z)=∫−∞∞​f(x,z−x)dx=∫−∞∞​fX​(x)fY​(z−x)dx

例题：

第一问第二问就不说了，这题很显然，$X，Y$X，Y分别服从于指数分布，第三问两种方法都可以，需要注意的是用卷积公式的时候，上下限的问题；

$x>0$x>0且$y>0$y>0的时候，$f$f不为0，我们要在这个范围内积分，又因为$Z=X+2Y$Z=X+2Y，那么$z\geq 2y,z\geq x$z≥2y,z≥x，如果对$x$x积分上下限是$(0,z)$(0,z)，如果对$y$y积分是$(0,z/2)$(0,z/2)；

这题里$X、Y$X、Y独立，两种方法都可以；这题答案给的是第一种求分布函数；对于用卷积公式求，这题来说，因为$X$X服从正态分布，我们换$Y$Y不换$X$X（所以我们需要对$x$x积分）；同样需要注意积分限的问题，$Y\in (-\pi,\pi)$Y∈(−π,π)，因为$Z=X+Y$Z=X+Y，所以$X=Z-Y\in(z-\pi,z+\pi)$X=Z−Y∈(z−π,z+π)；这题还需要对积分进行变换，变换成标准正态分布；