递推问题

利用递推解决问题，我们就要模仿求斐波那契数列的过程。首先，确定几个规模较小的问题答案。然后考虑如何由这几个规模较小的答案推得后面的答案。一旦有了递推规则和数列初始的几个值，计算机程序就能帮助我们求解数列后面的所有数字，我们的问题也得到了解决。

例题1:

代码：

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//  93.cpp
//  N阶楼梯上楼问题
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//  Created by chenmeiqi on 2019/4/17.
//  Copyright © 2019年 chenmeiqi. All rights reserved.
//

#include <iostream>
using namespace std;
// 递归解法
int getKind(int n){
    if(n==1) return 1;
    else if(n==2) return 2;
    else {
        return getKind(n-1)+getKind(n-2);
    }
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    int n;
    long long res[90];          // res数组保存数列的每一个值，由于数值过大，我们需要使用long long类型
    while (cin>>n) {
//        cout<<getKind(n)<<endl;           // 递归解法
        res[1]=1;
        res[2]=2;
        for (int i=3; i<=n; i++) {
            res[i]=res[i-1]+res[i-2];
        }
        cout<<res[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

分析： 

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例题2:

 代码：

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//  94.cpp
//  不容易系列之一
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//

#include <iostream>
using namespace std;
int getKinds(int n){
    if(n==1){
        return 0;
    }
    else if(n==2){
        return 1;
    }
    else{
        return (n-1)*getKinds(n-1)+(n-1)*getKinds(n-2);
    }
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    int n;
    while (cin>>n) {
        cout<<getKinds(n)<<endl;
    }
    return 0;
}

分析：（错排公式） 

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最长递增子序列（LIS）

 

例题：

 

代码：

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//  95.cpp
//  拦截导弹
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//

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
bool cmp(int a,int b){      // 从高到低排
    return a>b;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    int k;
    int a[26];
    int max;
    while (cin>>k) {
        int res[26]={0};                    // 初始化，便于排序
        for (int i=0; i<k; i++) {
            cin>>a[i];
        }
        res[0]=1;               //  初始化0位置的最长子序列为1
        for (int i=1; i<k; i++) {
            res[i]=1;
            max=1;
            for (int j=i-1; j>=0; j--) {
                if (a[i]<=a[j] && res[j]+1>max) {      // “不高于”
                    res[i]=res[j]+1;
                    max=res[i];
                }
            }
        }
        sort(res, res+26,cmp);          // 排序
        cout<<res[0]<<endl;
    }
    return 0;
}

 分析：