【MOOC】数字信号处理-电子科技大学-第八&九周 - 离散时间信号的变换域分析--z变换

定义和理解

Z变换可理解为DTFT的推广

定义：

由于z是复数，则，则其定义可写为：

可以看到，当r=1时即是DTFT的定义式。

使得Z变换收敛的z的取值区间称：region of convergence (ROC，收敛域)，即是求使得成立的r的区间（由r即可求z）。

常用z变换对：

需要注意：z变换一样不代表原序列也一样，比如：

需要同时指定z变换和ROC才可唯一确定一个序列。

因此，我们讨论一个序列的z变换时，通常需要指定其ROC。

4种序列类型与ROC的关系

1.有限长序列

2.右边序列

3.左边序列

4.双边序列

有理Z变换和零极点图

大多数我们关系的z变换都是z-1 或 z的函数式，即是说，它们可表示为两个含有z-1或 z的多项式的比值:

也可写为：

零极点图实例：

性质：ROC以极点为边界，ROC中不包含极点，可包含零点。

Z变换的性质

与DTFT的联系

若ROC包含单位圆（即包含r=1），则原序列存在DTFT，即是：

Z变换逆变换

回想Z变换的定义：
定义：

由于z是复数，则，则其定义可写为：

可看出，X(Z)是的DTFT。

那么根据DTFT逆变换有:

则：

则根据进行变量替换，有：，其中

关于该积分的计算，有如下4种方法：

1.留数定理（Residue Method）

这是复分析里面的内容，计算起来比较复杂。

2.查表法
直接将X(Z)进行适当的变形，再根据已有的 变换对 表，对比得出答案

3.长除法（当X(Z)是有理多项式时）
例子：
对于

使用长除法后可得：

4.部分分式展开法（当X(Z)是有理多项式时）