信号与系统（15）- 系统的频域分析法：周期信号
系统的频域分析法，是通过傅里叶变换将信号分解为多个正弦函数之和或者积分，由此得到信号的频谱。接着对各个正弦分量求系统对其的响应，进而得到系统对各个分量响应的频谱，最后将各个分量的响应叠加，再求傅里叶反变换，求得最终响应的分析方法。
相比时域分析法，这种方法不需要求解微分方程，以及使用卷积积分计算系统对信号的响应，但是必须要经过傅里叶变换和傅里叶反变换。
这种分析方法只能求解零状态响应或稳态响应，零输入响应仍然要使之前提到的经典法求解。稳态响应是指：周期信号可以是一个无始无终的信号，可以认为在很久以前，这个信号就已经加在系统之上，因此系统已经处于稳定状态，这种稳定状态下系统对信号的响应就是稳态响应。
1. 电系统对周期信号的响应
回顾上一篇内容信号与系统（14）- 正弦稳态响应的求解过程，对于电的稳态响应，可以通过一下步骤求解：
- 将周期信号分解为傅里叶级数；
- 求电路系统对各个频率信号作用的一般表达式—— H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)，对于电系统来说，这个表达式是通过系统中的阻抗以及电系统定律，如欧姆定律、基尔霍夫定律等得到，如信号与系统（14）- 正弦稳态响应的求解过程中的第二个例子。
- 求解系统对各个频率点上信号的响应；
- 将响应叠加，的到最终的响应。注意这里的响应叠加是时间函数的叠加，而非相量叠加。
举例说明：如下图所示电路，激励为 e ( t ) = c o s ( t ) + 2 c o s ( 2 t ) + 1 e(t)=cos(t)+2cos(2t)+1 e(t)=cos(t)+2cos(2t)+1， R = 1 Ω ， C = 1 F R=1\Omega，C = 1F R=1Ω，C=1F，求电容两端的电压响应 u C ( t ) u_C(t) uC(t)。
解：
- 将周期信号分解为傅里叶级数
题目中给出的信号已经是分解后的傅里叶级数形式，即
e
(
t
)
=
c
o
s
(
t
)
+
2
c
o
s
(
2
t
)
+
1
e(t)=cos(t)+2cos(2t)+1
e(t)=cos(t)+2cos(2t)+1
得到信号的 三个分量，即：
E
1
˙
=
1
2
∠
0
∘
,
E
2
˙
=
2
2
∠
0
∘
,
E
3
˙
=
1
2
∠
0
∘
,
\dot{E_1}=\frac{1}{\sqrt2 }\angle{0^\circ},\space\dot{E_2}=\frac{2}{\sqrt2}\angle{0^\circ},\space\dot{E_3}=\frac{1}{\sqrt2}\angle{0^\circ},\space
E1˙=2
1∠0∘, E2˙=2
2∠0∘, E3˙=2
1∠0∘,
- 求电路系统对各个频率信号作用的一般表达式—— H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)
由电路图可知，电阻
R
R
R和电容
C
C
C的阻抗分别为：
R
=
1
Ω
,
C
=
1
j
ω
C
=
1
j
ω
Ω
R = 1 \Omega, \space C = \frac{1}{j\omega C}=\frac{1}{j\omega} \Omega
R=1Ω, C=jωC1=jω1Ω
因此
U
˙
C
=
1
j
ω
1
+
1
j
ω
⋅
E
˙
⇒
H
(
j
ω
)
=
U
˙
C
E
˙
=
1
j
ω
1
+
1
j
ω
=
1
1
+
j
ω
\begin{aligned} \dot U_C &= \frac{\frac{1}{j\omega}}{1+\frac{1}{j\omega}}\cdot\dot E \\\Rightarrow H(j\omega)&=\frac{\dot U_C}{\dot E}= \frac{\frac{1}{j\omega}}{1+\frac{1}{j\omega}} \\&=\frac{1}{1+j\omega} \end{aligned}
U˙C⇒H(jω)=1+jω1jω1⋅E˙=E˙U˙C=1+jω1jω1=1+jω1
- 求解系统对各个频率点上信号的响应
由通过傅里叶级数分解可知，原信号具有
ω
=
1
，
ω
=
2
\omega = 1，\omega = 2
ω=1，ω=2，以及直流信号
ω
=
0
\omega=0
ω=0。则系统
H
(
j
ω
)
H(j\omega)
H(jω)对这三个频率的响应为：
当
ω
=
1
,
→
H
(
j
1
)
=
1
1
+
j
1
=
2
2
∠
−
4
5
∘
当
ω
=
2
,
→
H
(
j
2
)
=
1
1
+
j
2
=
5
5
∠
−
63.
4
∘
当
ω
=
0
,
→
H
(
j
0
)
=
1
1
+
j
0
=
1
∠
0
∘
\begin{aligned} 当\omega = 1, &\rightarrow H(j1)=\frac{1}{1+j1}=\frac{\sqrt2}{2}\angle-45^\circ \\当\omega = 2, &\rightarrow H(j2)=\frac{1}{1+j2}=\frac{\sqrt5}{5}\angle-63.4^\circ \\当\omega = 0, &\rightarrow H(j0)=\frac{1}{1+j0}=1\angle 0^\circ \end{aligned}
当ω=1,当ω=2,当ω=0,→H(j1)=1+j11=22
∠−45∘→H(j2)=1+j21=55
∠−63.4∘→H(j0)=1+j01=1∠0∘
则系统对各个频率点上信号的响应为：
U
˙
C
1
=
E
˙
1
⋅
H
(
j
1
)
=
1
2
∠
0
∘
⋅
2
2
∠
−
4
5
∘
=
1
2
∠
−
4
5
∘
U
˙
C
2
=
E
˙
2
⋅
H
(
j
2
)
=
2
2
∠
0
∘
⋅
5
5
∠
−
63.
4
∘
=
10
5
∠
−
63.
4
∘
U
˙
C
3
=
E
˙
3
⋅
H
(
j
0
)
=
1
∠
0
∘
⋅
1
∠
0
∘
=
1
∠
0
∘
\begin{aligned} \dot U_{C1} &= \dot E_1 \cdot H(j1) = \frac{1}{\sqrt2 }\angle{0^\circ} \cdot \frac{\sqrt2}{2}\angle-45^\circ = \frac{1}{2}\angle{-45^\circ} \\\dot U_{C2} &= \dot E_2 \cdot H(j2) = \frac{2}{\sqrt2 }\angle{0^\circ} \cdot \frac{\sqrt5}{5}\angle-63.4^\circ = \frac{\sqrt{10}}{5}\angle{-63.4^\circ} \\\dot U_{C3} &= \dot E_3 \cdot H(j0) = 1\angle{0^\circ} \cdot1\angle0^\circ = 1\angle{0^\circ} \end{aligned}
U˙C1U˙C2U˙C3=E˙1⋅H(j1)=2
1∠0∘⋅22
∠−45∘=21∠−45∘=E˙2⋅H(j2)=2
2∠0∘⋅55
∠−63.4∘=510
∠−63.4∘=E˙3⋅H(j0)=1∠0∘⋅1∠0∘=1∠0∘
- 将响应叠加，的到最终的响应。注意这里的响应叠加是时间函数的叠加，而非相量叠加
将相量表示的响应分量转换为时间函数，即：
U
˙
C
1
=
1
2
∠
−
4
5
∘
→
u
C
1
(
t
)
=
2
2
c
o
s
(
t
−
4
5
∘
)
U
˙
C
2
=
10
2
∠
−
63.
4
∘
→
u
C
2
(
t
)
=
2
5
5
c
o
s
(
2
t
−
63.
4
∘
)
U
˙
C
3
=
1
∠
0
∘
→
u
C
3
(
t
)
=
1
⋅
c
o
s
(
0
t
)
=
1
\begin{aligned} \dot U_{C1} = \frac{1}{2}\angle{-45^\circ} &\rightarrow u_{C1}(t)= \frac{\sqrt2}{2}cos(t-45^\circ) \\\dot U_{C2} = \frac{\sqrt{10}}{2}\angle{-63.4^\circ} &\rightarrow u_{C2}(t)= \frac{2\sqrt5}{5}cos(2t-63.4^\circ) \\\dot U_{C3} = 1\angle{0^\circ} &\rightarrow u_{C3}(t)= 1\cdot cos(0t)=1 \end{aligned}
U˙C1=21∠−45∘U˙C2=210
∠−63.4∘U˙C3=1∠0∘→uC1(t)=22
cos(t−45∘)→uC2(t)=525
cos(2t−63.4∘)→uC3(t)=1⋅cos(0t)=1
将时间函数叠加得：
u
c
(
t
)
=
2
2
c
o
s
(
t
−
4
5
∘
)
+
2
5
5
c
o
s
(
2
t
−
63.
4
∘
)
+
1
u_c(t) =\frac{\sqrt2}{2}cos(t-45^\circ) +\frac{2\sqrt5}{5}cos(2t-63.4^\circ)+1
uc(t)=22
cos(t−45∘)+525
cos(2t−63.4∘)+1
这里再次强调，因为这里求解响应时，要使用时间函数相加，不能用矢量或相量相加，因为矢量或相量相加紧筋适用于同频率不同相位和不同幅值的情况下。这里所求的响应
U
˙
C
1
，
U
˙
C
2
，
U
˙
C
3
\dot U_{C1}，\dot U_{C2}，\dot U_{C3}
U˙C1，U˙C2，U˙C3是不同的频率，因此不能通过相量或矢量相加。
2. 微分方程对周期信号的响应
这一部分将由电信号对周期信号的响应过渡到一般意义的微分方程对信号的响应。
首先要明确一个结论：系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号，也就是说，对于输入信号 E ( j ω ) ⋅ e j ω t E(j\omega)\cdot e^{j\omega t} E(jω)⋅ejωt，可以找到满足 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)的响应 R ( j ω ) ⋅ e j ω t R(j\omega)\cdot e^{j\omega t} R(jω)⋅ejωt。证明过程如下：
对于一般的微分方程：
d
n
d
t
n
r
(
t
)
+
a
n
−
1
d
n
−
1
d
t
n
−
1
r
(
t
)
+
.
.
.
+
a
1
d
d
t
r
(
t
)
+
a
0
r
(
t
)
=
b
m
d
m
d
t
m
e
(
t
)
+
b
m
−
1
d
m
−
1
d
t
m
−
1
e
(
t
)
+
.
.
.
+
b
1
d
d
t
e
(
t
)
+
b
0
e
(
t
)
\begin{aligned} \frac{d^{n}}{dt^{n}}r(t)+a_{n-1}\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}r(t)+...+a_{1}\frac{d}{dt}r(t)+a_{0}r(t) =\\b_{m}\frac{d^{m}}{dt^{m}}e(t)+b_{m-1}\frac{d^{m-1}}{dt^{m-1}}e(t)+...+b_{1}\frac{d}{dt}e(t)+b_{0}e(t) \end{aligned}
dtndnr(t)+an−1dtn−1dn−1r(t)+...+a1dtdr(t)+a0r(t)=bmdtmdme(t)+bm−1dtm−1dm−1e(t)+...+b1dtde(t)+b0e(t)
若激励信号为
e
(
t
)
=
E
(
j
ω
)
⋅
e
j
ω
t
e(t)=E(j\omega)\cdot e^{j\omega t}
e(t)=E(jω)⋅ejωt，响应信号为
r
(
t
)
=
R
(
j
ω
)
⋅
e
j
ω
t
r(t)=R(j\omega)\cdot e^{j\omega t}
r(t)=R(jω)⋅ejωt，将其带入上述微分方程中得：
{
(
j
ω
)
n
+
a
n
−
1
(
j
ω
)
n
−
1
+
⋯
+
a
1
(
j
ω
)
+
a
0
}
R
(
j
ω
)
⋅
e
j
ω
=
{
b
m
(
j
ω
)
n
+
b
n
−
1
(
j
ω
)
n
−
1
+
⋯
+
b
1
(
j
ω
)
+
b
0
}
E
(
j
ω
)
⋅
e
j
ω
\begin{aligned} \{(j\omega)^n +a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+\cdots+a_1(j\omega)+a_0\}R(j\omega)\cdot e^{j\omega}= \\\{b_m(j\omega)^n +b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+\cdots+b_1(j\omega)+b_0\}E(j\omega)\cdot e^{j\omega} \end{aligned}
{(jω)n+an−1(jω)n−1+⋯+a1(jω)+a0}R(jω)⋅ejω={bm(jω)n+bn−1(jω)n−1+⋯+b1(jω)+b0}E(jω)⋅ejω
因此；
R
(
j
ω
)
=
b
m
(
j
ω
)
n
+
b
n
−
1
(
j
ω
)
n
−
1
+
⋯
+
b
1
(
j
ω
)
+
b
0
(
j
ω
)
n
+
a
n
−
1
(
j
ω
)
n
−
1
+
⋯
+
a
1
(
j
ω
)
+
a
0
⋅
E
(
j
ω
)
\begin{aligned} R(j\omega) = \frac{b_m(j\omega)^n +b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+\cdots+b_1(j\omega)+b_0}{(j\omega)^n +a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+\cdots+a_1(j\omega)+a_0} \cdot E(j\omega) \end{aligned}
R(jω)=(jω)n+an−1(jω)n−1+⋯+a1(jω)+a0bm(jω)n+bn−1(jω)n−1+⋯+b1(jω)+b0⋅E(jω)
所以系统对复正弦信号的响应仍然是同频率的复正弦信号。
并且系统的传输函数为：
H
(
j
ω
)
=
b
m
(
j
ω
)
n
+
b
n
−
1
(
j
ω
)
n
−
1
+
⋯
+
b
1
(
j
ω
)
+
b
0
(
j
ω
)
n
+
a
n
−
1
(
j
ω
)
n
−
1
+
⋯
+
a
1
(
j
ω
)
+
a
0
\begin{aligned} H(j\omega) = \frac{b_m(j\omega)^n +b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+\cdots+b_1(j\omega)+b_0}{(j\omega)^n +a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+\cdots+a_1(j\omega)+a_0} \end{aligned}
H(jω)=(jω)n+an−1(jω)n−1+⋯+a1(jω)+a0bm(jω)n+bn−1(jω)n−1+⋯+b1(jω)+b0
此时，激励和系统响应之间的关系可以为：
R
(
j
ω
)
=
H
(
j
ω
)
⋅
E
(
j
ω
)
R(j\omega) =H(j\omega)\cdot E(j\omega)
R(jω)=H(jω)⋅E(jω)
由于这里已经是一般意义上的系统，不再是局限于电路系统，因此此时的
R
(
j
ω
)
R(j\omega)
R(jω)和
E
(
j
ω
)
E(j\omega)
E(jω)不再是相量，在计算时不需要再除以
2
\sqrt2
2
得到有效值，而是复正弦信号的幅值本身。这一点和电系统计算周期信号的稳态响应是不相同的。
由此可以得出求解微分方程对周期信号的响应的步骤：
- 将周期信号分解为傅里叶级数
- 求出系统的转移算子 H ( p ) H(p) H(p)，再将算子p替换为 j ω j\omega jω，得到 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)。
- 求系统对各个复频域点上的响应： R ( j ω i ) = H ( j ω i ) ⋅ E ( j ω i ) R(j\omega_i) =H(j\omega_i)\cdot E(j\omega_i) R(jωi)=H(jωi)⋅E(jωi)
- 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。
问题：在电路分析中使用的激励信号是一个实数正弦信号，而这里使用的复正弦信号， H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)是一个复数，对这两种信号都适用吗？
首先，通过欧拉公式，实数正弦信号可以表示为两个复正弦信号的和，即
c
o
s
(
ω
t
)
=
e
j
ω
t
+
e
−
j
ω
t
2
cos(\omega t)=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}
cos(ωt)=2ejωt+e−jωt
系统对上面两个复正弦信号的传输函数分别为：
H
(
j
ω
)
H(j\omega)
H(jω)和
H
(
−
j
ω
)
H(-j\omega)
H(−jω)。
观察下面的式子：
H
(
j
ω
)
=
b
m
(
j
ω
)
n
+
b
n
−
1
(
j
ω
)
n
−
1
+
⋯
+
b
1
(
j
ω
)
+
b
0
(
j
ω
)
n
+
a
n
−
1
(
j
ω
)
n
−
1
+
⋯
+
a
1
(
j
ω
)
+
a
0
\begin{aligned}H(j\omega) = \frac{b_m(j\omega)^n +b_{n-1}(j\omega)^{n-1}+\cdots+b_1(j\omega)+b_0}{(j\omega)^n +a_{n-1}(j\omega)^{n-1}+\cdots+a_1(j\omega)+a_0}\end{aligned}
H(jω)=(jω)n+an−1(jω)n−1+⋯+a1(jω)+a0bm(jω)n+bn−1(jω)n−1+⋯+b1(jω)+b0
当系数
a
n
⋯
a
0
a_n \cdots a_0
an⋯a0，以及
b
n
⋯
b
0
b_n \cdots b_0
bn⋯b0均为实数时，上式中的偶次幂的项为实数项，奇次幂的项为复数项。若将
j
ω
j\omega
jω取相反符号，即
H
(
−
j
ω
)
H(-j\omega)
H(−jω)，则偶次幂的项仍为实数项，且符号不变，但奇次幂的项虽仍为复数项，但符号相反。因此有：
H
(
−
j
ω
)
=
H
∗
(
j
ω
)
H(-j\omega)=H^*(j\omega)
H(−jω)=H∗(jω)
H
∗
(
j
ω
)
H^*(j\omega)
H∗(jω)是共轭，即实部相同，虚部符号相反，
H
∗
(
j
ω
)
H^*(j\omega)
H∗(jω)和
H
(
j
ω
)
H(j\omega)
H(jω)具有相同的幅值
∣
H
(
j
ω
)
∣
\vert H(j\omega)\vert
∣H(jω)∣
设传输函数
H
(
j
ω
)
=
∣
H
(
j
ω
)
∣
⋅
e
j
φ
(
ω
)
H(j\omega)=\vert H(j\omega)\vert\cdot e^{j\varphi(\omega)}
H(jω)=∣H(jω)∣⋅ejφ(ω)则系统对激励
e
(
t
)
=
1
⋅
c
o
s
(
ω
t
+
0
∘
)
=
e
j
ω
t
+
e
−
j
ω
t
2
e(t) =1\cdot cos(\omega t+0^\circ)=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2}
e(t)=1⋅cos(ωt+0∘)=2ejωt+e−jωt的响应可以为：
r
(
t
)
=
e
(
t
)
⋅
H
(
j
ω
)
=
e
j
ω
t
+
e
−
j
ω
t
2
⋅
H
(
j
ω
)
=
H
(
j
ω
)
⋅
e
j
ω
t
+
H
(
−
j
ω
)
⋅
e
−
j
ω
t
2
=
H
(
j
ω
)
⋅
e
j
ω
t
+
[
H
(
j
ω
)
⋅
e
j
ω
t
]
∗
2
=
∣
H
(
j
ω
)
∣
⋅
e
j
φ
(
ω
)
e
j
ω
t
+
e
−
j
φ
(
ω
)
e
−
j
ω
t
2
=
1
⋅
∣
H
(
j
ω
)
∣
c
o
s
(
ω
t
+
φ
(
ω
)
+
0
∘
)
\begin{aligned} r(t) &= e(t) \cdot H(j\omega) \\&=\frac{e^{j\omega t}+e^{-j\omega t}}{2} \cdot H(j\omega) \\&=\frac{H(j\omega)\cdot e^{j\omega t}+H(-j\omega)\cdot e^{-j\omega t}}{2} \\&=\frac{H(j\omega)\cdot e^{j\omega t}+[H(j\omega)\cdot e^{j\omega t}]^*}{2} \\&=\vert H(j\omega)\vert \cdot \frac{e^{j\varphi(\omega)}e^{j\omega t}+e^{-j\varphi(\omega)}e^{-j\omega t}}{2} \\&=1\cdot \vert H(j\omega)\vert cos(\omega t+\varphi(\omega)+0^\circ) \end{aligned}
r(t)=e(t)⋅H(jω)=2ejωt+e−jωt⋅H(jω)=2H(jω)⋅ejωt+H(−jω)⋅e−jωt=2H(jω)⋅ejωt+[H(jω)⋅ejωt]∗=∣H(jω)∣⋅2ejφ(ω)ejωt+e−jφ(ω)e−jωt=1⋅∣H(jω)∣cos(ωt+φ(ω)+0∘)
所以，传输函数
H
(
j
ω
)
H(j\omega)
H(jω)同时反映了系统对频率为
ω
\omega
ω的实正弦信号的幅度和相位的影响。也就是说，不论信号是频率为
ω
\omega
ω的实数正弦信号还是频率为
ω
\omega
ω的复数正弦信号，传输函数均可以体现其对幅度和相位的影响，仍然是幅度乘幅度，相角加相角的运算方式。
有了上述这个问题的答案，当面对一个实数周期信号时，无需通过欧拉公式变换为复数正弦信号，求解响应的过程可以更改如下：
- 将周期信号分解为实数傅里叶级数的和
- 求出系统的传输方程 H ( j ω ) = ∣ H ( j ω ) ∣ ⋅ e j φ ( ω ) H(j\omega)=\vert H(j\omega)\vert\cdot e^{j\varphi(\omega)} H(jω)=∣H(jω)∣⋅ejφ(ω)
- 求系统对各个频率点上信号的响应，即： r i ( t ) = ∣ H ( j ω i ) ∣ c o s ( ω i t + φ ( ω i ) ) r_i(t)=\vert H(j\omega_i)\vert cos(\omega_i t+\varphi(\omega_i)) ri(t)=∣H(jωi)∣cos(ωit+φ(ωi))
- 将各个频率点上的响应叠加，得到全响应。
3. 系统的频率特性
通过之前的分析可以发现， H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)代表着系统的特性，反应了激励信号的复振幅、相位和响应信号的复振幅、相位之间的关系。
并且 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)在特定 ω \omega ω上的取值实际上表示了系统对该频率点上信号的幅度和相位的影响。因此， H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)可以表示系统的频域特性，即系统的频率特性是指系统对各个频率的复正弦信号的影响：包括对复正弦信号幅度和相位的影响。并且系统的传输特性曲线同样可以分为幅频特性曲线和相频特性曲线。
- 幅频特性曲线：幅频特性曲线作出了 H ( j ω ) H(j\omega) H(jω)与频率之间的关系，描述了系统对各个频率的（复）正弦信号的幅度的影响，
- 相频特性曲线：相频特性曲线作出了 φ ( ω ) \varphi(\omega) φ(ω)与频率之间的关系，描绘了系统对各个频率的（复）正弦信号的相位的影响。
最终，系统输出信号的频谱可以通过将信号的频谱与系统的频域特性曲线两者合成分析出，即：
- 将激励信号的幅频特性曲线与系统的幅频特性曲线对应频率点上的幅度相乘，可以得到响应信号的幅频特性曲线；
- 将激励信号的相频特性曲线与系统的相频特性曲线对应频率点上的幅度相加，可以得到响应信号的相频特性曲线。
如下图所示：
下一步将讨论非周期信号的频域分析方法。如有不当之处欢迎批评指正，谢谢！