Deep Ritz Method 是鄂维南老师(Weinan E)提出来的一种用神经网络求解PDE的方法, 作为最开始的几篇探讨DeepLearning 与PDE 关系的文章，他的很多思想还是很厉害的， 下面我们来介绍一下这篇文章以及我在实现时遇到的一些问题。

基本思想

对于给定的一个变分问题

我们怎么用神经网络来求解呢？

事实上， 我们把  中的每个点看做训练样本， 将   看做是神经网络的输出， 将  看做是损失函数去优化， 这个问题便解决了。

但是具体实践过程中，有以下几点要注意：

1.采用 Adam 作为优化器， 初始学习率为 1e-3;

2. 网络结构采用 Resnet 结构， 也就是

3.**函数选取  有点奇怪，应该是作者仔细选取后得出来的，原文是这样说的（To balance simplicity and accuracy）

4. 损失函数是一个积分的形式， 我们把它取成离散和。 值得注意的是： 这里的离散和并不是传统意义上的积分和（Riemann和）。举个例子， 我们一般求解 上的问题， 均匀采点，解方程。 但是这里的离散和不是均匀采点得来的，而是来自均匀分布采样。即 x_i 是从均匀分布中采的点， Loss Function 为

我的体会

1. 损失函数不一定为正

2. 文章中给定的函数在我的实际计算中可能会梯度爆炸， 所以我采用的**函数是 Tanh()

3. 对于高维问题的边界采样还不是很友好（好像也没有什么其他的办法）

注意到以上情况后，复刻文章中的实际例子便很简单了。 比方说：

对于文章中的第一个例子：

此问题对应的变分形式为

其中第二项用来惩罚边界，作者给出的解为

我采用

• Adam优化器， 初始学习率为1e-3,
• 边界的惩罚因子为500，
• 每次从内部随机采点500个，边界采点100个，
• xavier初始化神经网络的W,b,
•   训练50000次

得到最后的结果为

 

再来测试一个高维例子：

可以看到