Logistic回归原理及公式推导

Logistic回归为概率型非线性回归模型，是研究二分类观察结果与一些影响因素之间关系的一种多

变量分析方法。通常的问题是，研究某些因素条件下某个结果是否发生，比如医学中根据病人的一些症状来判断它是

否患有某种病。

 

在讲解Logistic回归理论之前，我们先从LR分类器说起。LR分类器，即Logistic Regression Classifier。

在分类情形下，经过学习后的LR分类器是一组权值，当测试样本的数据输入时，这组权值与测试数据按

照线性加和得到

 

           

 

这里是每个样本的个特征。

之后按照sigmoid函数的形式求出

 

           

 

由于sigmoid函数的定义域为，值域为，因此最基本的LR分类器适合对两类目标进行分类。

所以Logistic回归最关键的问题就是研究如何求得这组权值。这个问题是用极大似然估计来做的。

 

 

下面正式地来讲Logistic回归模型。

 

考虑具有个独立变量的向量，设条件慨率为根据观测量相对于某事件发生的

概率。那么Logistic回归模型可以表示为

 

           

这里称为Logistic函数。其中

 

那么在条件下不发生的概率为

 

           

 

所以事件发生与不发生的概率之比为

 

           

 

这个比值称为事件的发生比（the odds of experiencing an event），简记为odds。

 

对odds取对数得到

 

           

 

 

可以看出Logistic回归都是围绕一个Logistic函数来展开的。接下来就讲如何用极大似然估计求分类器的参数。

 

假设有个观测样本，观测值分别为，设为给定条件下得到的概率，同样地，

的概率为，所以得到一个观测值的概率为。

 

因为各个观测样本之间相互独立，那么它们的联合分布为各边缘分布的乘积。得到似然函数为

 

                                         

 

然后我们的目标是求出使这一似然函数的值最大的参数估计，最大似然估计就是求出参数，使得

取得最大值，对函数取对数得到

 

            

 

继续对这个分别求偏导，得到个方程，比如现在对参数求偏导，由于

 

             

 

所以得到

 

            

 

这样的方程一共有个，所以现在的问题转化为解这个方程形成的方程组。

 

上述方程比较复杂，一般方法似乎不能解之，所以我们引用了牛顿-拉菲森迭代方法求解。

 

利用牛顿迭代求多元函数的最值问题以后再讲。。。

 

简单牛顿迭代法：https://en.wikipedia.org/wiki/Newton%27s_method

 

实际上在上述似然函数求最大值时，可以用梯度上升算法，一直迭代下去。梯度上升算法和牛顿迭代相比，收敛速度

慢，因为梯度上升算法是一阶收敛，而牛顿迭代属于二阶收敛。