三种方法求最大公约数
最大公约数
问题描述：求两个正整数的最大公约数和最小公倍数
要求：
- 程序风格良好，提供友好的输入输出
- 使用三种以上算法解决两个数的最大公约数问题
- 求三个正整数的最大公约数和最小公倍数
问题分析：对于现有的算法，有更相减损法（九章算术），辗转相除法（欧几里得），stein算法（Stein），以及最简单的利用计算机的运算能力的暴力方法。
算法详解：
- 欧几里德算法（辗转相除法）
- 基本原理
两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。
设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数 的步骤如下：
(1)用a除以b(a≥b)，得 a /b = q...r1(0<=r1) 。
(2)若 r1 =0 ，则(a,b)=b ；
(3)若 r1 !=0 ，则再用b除以 r1，得 b /r1= q...r2 (0<r2).
(4)若 r2=0 ，则 (a,b)=r1 ；若 r2!=0 ，则继续用 r1 除以r2 ，......，如此下去，直到能整除为止。
其最后一个余数为0的除数即为(a,b)的最大公约数。
- 算法描述
用辗转相除法确定两个正整数 a 和 b(a≥b) 的最大公因数 gcd(a,b) ：
当 a mod b =0 时，gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) ；否则 gcd(a,b) = gcd(b, a mod b) 递归或循环运算得出结果。
- 代码
- 流程图
- Stein算法
- 算法思想
由J. Stein 1961年提出的Stein算法很好的解决了欧几里德算法中的这个缺陷，Stein算法只有整数的移位和加减法，为了说明Stein算法的正确性，首先必须注意到以下结论：
gcd(a,a)=a，也就是一个数和其自身的公约数仍是其自身。
gcd(ka,kb)=k gcd(a,b)，也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换。特殊地，当k=2时，说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除。
当k与b互为质数，gcd(ka,b)=gcd(a,b)，也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地，当k=2时，说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时，可以先将偶数除以2
2）算法步骤
1、如果An=Bn,那么An(或Bn)*Cn是最大公约数,算法结束
2、如果An=0，Bn是最大公约数，算法结束
3、如果Bn=0，An是最大公约数，算法结束
4、设置A1=A、B1=B和C1=1
5、如果An和Bn都是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn/2，Cn+1=Cn*2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
6、如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1=An/2，Bn+1=Bn，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
7、如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1=Bn/2，An+1=An，Cn+1=Cn(很显然啦，2不是奇数的约数)
8、如果An和Bn都不是偶数，则An+1=|An-Bn|/2，Bn+1=min(An,Bn)，Cn+1=Cn
9、n加1，转1
- 代码
- 流程图
- 穷举法
- 原理：利用计算机的计算能力，对每一种情况进行计算，最后得出合适的结果
- 流程图
- 代码
调试过程：
1，在输出测试的时候出现了类型的错误，利用str函数得到的数字对象结果装化成字符串对象结果，成功通过调试。
2，求两个数的最小公倍数是返回了浮点数，经过检查发现是数学运算的符号的问题。
通过修改数学运算符号，即蒋单除改成整除符号。修改后的测试结果如下
3， 三个数的测试中出错
最大公约数结果正确，但是最小公倍数出错，通过分析代码，代码中使用的是调用求三个数的最大公约数的算法，求出三个数的最大约束，然后类比于两个数的算法，去实现三个数的最大约束。但是再这个过程中，就存在了误差的使得公倍数的传递出错。于是修改为调用求两个数的最小公倍数再调用以此，即两次调用求出三个数的，不存在误差。
最终测试结果如下：
总结：
通过本次的算法编写，完善了自己的代码风格。首先对函数加上了参数结束以及注释，也将上了返回值类型，以及函数课批可转化的docsing解释文档。同时坚持自己的代码符合pep8 的python代码编写风格。再本次的算法代码编写过程中，由于算法具有一定的复杂性，因此，再开始一个算法的时候，都会去用伪代码分析一下流程，发现这样更利于实际代码的编写，也更能帮助自己理清思路。
如一下的伪代码，以后面对复杂的程序，一步一步的完成和测试，通过伪代码来明确自己的思路，效率能有很大的提升。
其次，在代码的编写过程中，会遇到很多的问题，通过本次的编写，熟悉的利用debug工具和熟练的使用输出测试，能让自己很快的找到问题所在，提高效率很关键。