说明

• 本系列用于记录数字图像处理的学习笔记，课程为中国科学院大学焦建彬老师的数字图像处理
• 本篇为数字图像基础

采样与量化

采样

• 概念
  对空间连续坐标(x,y)的离散化，又称为取样、抽样
• 图像的采样
  

量化

• 概念
  对幅值f(x,y)的离散化
• 图像的量化
  
• 量化的方法
  按量化级步长是否均匀划分
  • 均匀量化
    连续灰度值等间隔分层。层越多，产生的量化误差越小。
  • 非均匀量化
    • 基于视觉特性
      对亮度值急剧变化部分无需过细分层，进行粗量化，对亮度值平缓变化部分(图像的细节部分)需细分层，进行细量化
    • 基于统计特性
      先计算所有可能的亮度值出现的概率分布，对概率分布大的进行细量化，对概率分布小的进行粗量化

图像上采样与下采样

• 上采样(upsampling)目的
  放大图像
• 下采样(downsampling)目的
  • 使得图像符合显示区域的大小
  • 生成对应图像的缩略图

注： 对图像的缩放并不能带来更多关于该图像的信息，因此图像的质量将不可避免地受到影响。

• 下采样原理
  假设图像尺寸为 M × N M \times N M×N，对其进行s倍下采样，即得到 ( M / s ) × ( N / s ) (M/s) \times (N/s) (M/s)×(N/s)尺寸分辨率的图像
  • 如果s是M和N的公约数，新像素点的灰度值可以取原始图像 s × s s\times s s×s窗口内所有像素的均值
  • 如果s不是M和N的公约数，或者对图像进行放大，则可以采用图像插值的方法来获得新像素点的灰度值
• 常用插值方法
  • 最近邻插值法
    • 直接取原图像中与其距离最近的像素的灰度值作为该点的灰度值
    • 计算量少，但可能会造成插值生成的图像灰度上的不连续，在灰度变化的地方可能会出现明显的锯齿
  • 线性插值法(以双线性插值为例)
    • 目标图像中新产生的像素值，由源图像位置在它附近的 2 × 2 2\times 2 2×2区域4个邻近像素值通过加权平均计算得出
    • 例如：
      
      假设四个邻接点为：
      Q₁=(x₁,y₁)，Q₂=(x₂,y₂)，Q₁=(x₃,y₃)，Q₄=(x₄,y₄)
    1. 首先在x方向线性插值，得到：
       f ( R 1 ) ≈ x 2 − x x 2 − x 1 f ( Q 11 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f ( Q 21 ) ， 其 中 R 1 = ( x , y 1 ) f(R_1)\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21})，其中R_1=(x,y_1) f(R1​)≈x2​−x1​x2​−x​f(Q11​)+x2​−x1​x−x1​​f(Q21​)，其中R1​=(x,y1​)
       f ( R 2 ) ≈ x 2 − x x 2 − x 1 f ( Q 12 ) + x − x 1 x 2 − x 1 f ( Q 22 ) ， 其 中 R 2 = ( x , y 2 ) f(R_2)\approx \frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22})，其中R_2=(x,y_2) f(R2​)≈x2​−x1​x2​−x​f(Q12​)+x2​−x1​x−x1​​f(Q22​)，其中R2​=(x,y2​)
    2. 然后在y方向进行线性插值，得到：
       f ( x , y ) ≈ y 2 − y y 2 − y 1 f ( R 1 ) + y − y 1 y 2 − y 1 f ( R 2 ) f(x,y)\approx \frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(R_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(R_2) f(x,y)≈y2​−y1​y2​−y​f(R1​)+y2​−y1​y−y1​​f(R2​)
       注： 约等于的原因是采用量化的方法而取整数

图像的表示与描述

图像的数学表示

计算机内图像表示方式

• 灰度图像：像素的灰度级通常为8bits，即0~255，常用来验证算法
• 二值图像：用0和1表示图像，即黑白图像
• 彩色图像：用RGB三通道表示图像，每个通道即为灰度图像

像素间的一些基本关系

像素的领域

• 概念
  一个像素的邻近像素组成该像素的领域

• 类型(下图以p作为参考像素)
  

  • 4-邻域N₄(p) ：如上图(a)所示，r所在位置即为p的4-邻域
  • 对角领域N_D(p)：如上图(b)所示，s所在位置即为p的对角邻域
  • 4-邻域N₈(p) ：如上图(c)所示，r和s所在位置即为p的8-邻域

  注： 若像素p本身处在图像的边缘，则它的N₄(p)、N_D(p)、N₈(p)中的若干像素将落在图像之外

像素的邻接

• 概念
  一个像素与在它领域中的像素是接触的，称为邻接的
• 类型
  与邻域相对应，即包括4-邻接、对角邻接、8-邻接
  注： 邻接仅考虑了像素间的空间关系

像素的连接

• 概念
  
• 类型
  
• 对m-连接的说明
  • m-连接中条件二的解释
    
  • m-连接作用：消除使用8-连接时常出现的多路问题
    
    即对于图(a)所示图像，若使用8-连接则有两条通路连接(1,1)到(0,2)，而使用m-连接即可消除二义性
  • m-连接的实质：在像素间同时存在4-连接和8-连接时，优先采用4-连接，并屏蔽掉两个和同一像素间存在4+连接的像素之间的8-连接

像素的通路

• 概念
  
• 类型
  与邻域相对应，即4-通路、8-通路

像素集合间的邻接、连接、连通

像素间的距离

• 说明
  像素在空间的接近程度可以用像素间的距离来测量
• 表示方法：

  • D_E距离，即欧式距离
    D E ( p , q ) = [ ( x 1 − x 2 ) 2 + ( y 1 − y 2 ) 2 ] 1 2 D_E(p,q) = [(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2]^\frac{1}{2} DE​(p,q)=[(x1​−x2​)2+(y1​−y2​)2]21​

  • D₄距离，即曼哈顿距离
    D 4 ( p , q ) = ∣ x 1 − x 2 ∣ + ∣ y 1 − y 2 ∣ D_4(p,q) =|x_1-x_2| + |y_1-y_2| D4​(p,q)=∣x1​−x2​∣+∣y1​−y2​∣

  • D₈距离，即棋盘距离/切比雪夫距离
    D 8 ( p , q ) = m a x ( ∣ x 1 − x 2 ∣ , ∣ y 1 − y 2 ∣ ) D_8(p,q) =max(|x_1-x_2|,|y_1-y_2|) D8​(p,q)=max(∣x1​−x2​∣,∣y1​−y2​∣)

  • 举例
    

  • D_m距离
    

常用数学工具介绍

阵列与矩阵操作

注： 若无特殊说明，以后图像操作均假定为阵列操作

线性操作与非线性操作

空间操作

概率方法

• 矩
  随机变量z关于均值m的第n阶矩的定义为 μ n ( z ) = ∑ m = 0 L − 1 ( z k − m ) n p ( z k ) \mu_n(z)=\sum_{m=0}^{L-1}(z_k-m)^np(z_k) μn​(z)=m=0∑L−1​(zk​−m)np(zk​)
  可见
  n=0时， μ 0 ( z ) = 1 \mu_0(z)=1 μ0​(z)=1
  n=1时； μ 1 ( z ) = 0 \mu_1(z)=0 μ1​(z)=0
  n=2时， μ 2 ( z ) = ∑ m = 0 L − 1 ( z k − m ) 2 p ( z k ) \mu_2(z)=\sum_{m=0}^{L-1}(z_k-m)^2p(z_k) μ2​(z)=∑m=0L−1​(zk​−m)2p(zk​)，即灰度的方差 σ 2 \sigma^2 σ2
  • 方差是图像像素值关于均值的展开度的度量
  • 三阶矩也称为“偏度”，用来衡量灰度分布是否有偏移，如果为正值，表明其灰度分布集中于高于平均值的部分，如果为负，则集中于低于平均值的部分，如果为0，则表示灰度分布比较均匀。
  • 矩特征主要表征了图像区域的几何特征，又称为几何矩

数字图像处理基本运算

像素级运算

• 点运算

  • 线性点运算
    I o u t ( x , y ) = a ⋅ I i n ( x , y ) + b I_{out}(x,y)=a\cdot I_{in}(x,y)+b Iout​(x,y)=a⋅Iin​(x,y)+b

  	b < 0	b = 0	b > 0
  a < 0	黑白反转(负片：a=-1,b=255)，降低亮度	黑白反转(负片：a=-1,b=255)	黑白反转(负片：a=-1,b=255)，增加亮度
  a = 0	—	输入图片与输出图片恒等	—
  |a| < 1	降低对比度，降低亮度	降低对比度	降低对比度，增加亮度
  |a| > 1	增加对比度，降低亮度	增加对比度	增加对比度，增加亮度

  • 非线性点运算
    非线性点运算对应于非线性映射函数，典型的包括平方函数，对数函数，截取(窗口函数)，阈值函数，多值量化函数等
  • 点运算特点
    • 从像素到像素的操作
    • 点运算针对图像中的每一个像素灰度，独立地进行灰度值的改变
    • 输出图像中每个像素点的灰度值，仅取决于相应输入像素点的 值
    • 点运算不改变图像内的空间关系
    • 点运算可完全由灰度变换函数或灰度映射表确定

• 算术运算
  即两幅图像的+、-、x、÷操作(对应元素操作，即阵列操作)

• 逻辑运算

  • 求反
    g ( x , y ) = R − f ( x , y ) , 其 中 R 为 f ( x , y ) 的 灰 度 级 g(x,y)=R-f(x,y),其中R为f(x,y)的灰度级 g(x,y)=R−f(x,y),其中R为f(x,y)的灰度级
  • 异或
    g ( x , y ) = f ( x , y ) ⊕ h ( x , y ) g(x,y)=f(x,y)\oplus h(x,y) g(x,y)=f(x,y)⊕h(x,y)
  • 其余逻辑操作
    

待续~

空间域变换

直方图变换