欧拉公式

参考Wikipedia，欧拉公式（Euler’s Formula）数学表达式为：
$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$eiφ=cosφ+isinφ$e^{i\omega t}=\cos\omega t+i\sin\omega t$eiωt=cosωt+isinωt
其中，$\varphi$φ为逆时针旋转的角度。
如下图所示：

上述公式通过把自然常数和复数（虚数）联系起来表示，欧拉公式在许多领域具有重要的应用，比如：拉普拉斯变换、傅里叶变换等。那么这个公式中的参数具有什么实际意义？其表达形式又有什么应用背景和直观理解呢？如何推导呢？

1. 复数$i$i

复数基$i$i是相对于实数基$1$1的垂直的基，我们可以理解为$\vec{1}$1往往在图纸上记为水平向右的单位向量，$\vec{i}$i往往在图纸上记为水平向右的单位向量，那么如何从数学模型上进行理解呢？
中学时代学过如下的公式：
$i^2=-1$i2=−1
将此公式进行修改：
$1\cdot i\cdot i=-1$1⋅i⋅i=−1$1\cdot i=i$1⋅i=i$1=1$1=1
即将$1$1乘过1次$i$i之后，相当于逆时针旋转了$90\degree$90°，乘第2次$i$i之后，相当于再次逆时针旋转了$90\degree$90°，总共旋转$180\degree$180°，从$1$1变成了$-1$−1。
再思考一步：如果$i$i前面带了系数呢？比如$1\cdot 0.5 i\cdot0.5 i=-0.25$1⋅0.5i⋅0.5i=−0.25
那么可以解释为：进行了2次逆时针旋转$90\degree$90°的操作，并且每次在旋转过程中长度缩为上一次的$0.5$0.5倍。
OK，我们知道了$ki$ki代表逆时针旋转$90\degree$90°，并且长度缩放为k倍。

2. 自然常数$e$e

自然常数$e$e在中学时代学习过，其大小约为$2.71828$2.71828，为什么是这个值呢？这里有一个复利的经典例子，常用来描述$e$e的值如何取到：
假设有一个银行的存款年利率是$100\%$100%，即$1$1元钱存一年可以获得利息$1$1元钱，存半年可以获得利息$0.5$0.5元钱。那么我们想到，在不存在时间间隔的情况下，我可以隔一段时间连本带利取出来，瞬间再存进去，比如：

1. $1$1元钱存一年，获得$2$2元；
2. $1$1元钱存半年，获得$1.5$1.5元，再全部放入，获得$2.25$2.25元；
3. $1$1元钱每$0.25$0.25年取出存入一次，年底获得$(1+0.25)^4$(1+0.25)4元；
4. …
5. 以此类推，分无数次取出存入，年底获得$\lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1+\frac{1}{n})^n$n→+∞lim​(1+n1​)n元，其极限值约为2.71828。

过程如下图所示：

再讨论一步：当年利率不是$100\%$100%，而是$50\%$50%，那么最终极限为：
$\lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1+\frac{0.5}{n})^n=\\ \lim\limits_{m\to+\infty} \quad (1+\frac{0.5}{0.5m})^{0.5m}=\\ \lim\limits_{m\to+\infty} \quad {[(1+\frac{1}{m})^{m}]}^{0.5}=e^{0.5}$n→+∞lim​(1+n0.5​)n=m→+∞lim​(1+0.5m0.5​)0.5m=m→+∞lim​[(1+m1​)m]0.5=e0.5
那么我们知道了$e^x$ex代表的是利率为$x$x的复利式的无穷次迭代，即每一次都在当前基础上增长$x/n$x/n倍，重复$n$n次（$n$n趋于$+\infty$+∞）

3. $e^{i\varphi}$eiφ

由上面的内容，我们知道了两点信息：

1. $i$i代表逆时针旋转$90\degree$90°；
2. $e^x$ex代表的是利率为$x$x的复利式的无穷次迭代，即每一次都在当前基础上增长$x/n$x/n倍，重复$n$n次（$n$n趋于$+\infty$+∞）。

那么$e^{i\varphi}$eiφ代表的是什么呢？
$e^{i\varphi}$eiφ代表：原始值为$\vec{1}$1，然后每次增长$i\varphi/n$iφ/n倍，意为在上一步向量的基础上加上$\varphi/n$φ/n倍长度且逆时针旋转$90\degree$90°的向量（假设$\varphi>0$φ>0），重复$n$n次（$n$n趋于$+\infty$+∞）；

接下来是如何计算这样的结果？
轻轻闭上眼睛，想象这样的画面，有一个二维坐标系，一个单纯可爱的水平向量从$0$0指向$1$1，然后垂直于向量向上，在箭头处加上一个微乎其微的小小小小的小向量，轻轻合成一下，哇，它转动了！！！然后再加一个垂直的微乎其微的小小小小的小向量，轻轻合成一下，它又转了！！！然后不断地转啊转，发现就转了一个圆，但是不管转多少次，它总有停下来的一天，哦，原来它就是单位圆里面从圆心指向边的某一点的一个向量。证毕。

要是这样证明，应该会被老师批到怀疑人生，实际上往往可以采用指数函数、三角函数的泰勒展开，进行推导， 我们此处还按照上面思考的角度以数学语言进行推导：

证明：

1. 长度：无穷次叠加向量之后，最终合成的向量长度为
   $\lim\limits_{n\to+\infty} \quad (1+\frac{\varphi^2}{n^2})^\frac{n}{2}=1$n→+∞lim​(1+n2φ2​)2n​=1
2. 角度：每次旋转的角度近似为$\frac{\varphi}{n}$nφ​，那么在旋转$n$n次后，旋转角度为$\varphi$φ。
3. 即无穷次旋转之后获取到的向量为长度为$1$1，逆时针角度为$\varphi$φ，这个结论与一开始的欧拉公式图是相符的，即为$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi$eiφ=cosφ+isinφ。

此次欧拉公式的内容为之后要写的拉普拉斯变换做准备。
（注：不够严谨的地方望指正，谢谢????）