剪切应力张量

剪切应力方程

对于剪切应力张量 $\vec \tau$τ，其九个分量定义如下：

其中，

• $\kappa$κ -体积粘度，这种粘度对于稠密的气体和液体并不重要，在许多文献中被忽略了;
• $\mu$μ-动力粘度;
• $\lambda$λ- 膨胀粘度，大小为$\frac23\mu$32​μ.

根据N-S方程，有：
$\frac{\partial( \rho \mathbf U)}{\partial t}+\nabla \cdot {(\rho\mathbf U \mathbf U ) }=-\nabla \cdot \mathbf \tau -\nabla p+\rho \mathbf g$∂t∂(ρU)​+∇⋅(ρUU)=−∇⋅τ−∇p+ρg
对于各向同性流体，形变率 $\mathbf D$D:

则 $\tau$τ（RHS的第一项的负号与剪切应力张量前面的负号相互抵消，令其变为正值）：

此时，$\lambda=-\frac23\mu$λ=−32​μ 。这里，我们令 $\kappa$κ=0,则：

若将压力梯度项放入剪切应力张量中，可得到柯西应力张量（Cauchy stress tensor）$\sigma$σ:

可压缩流

对于可压缩流，连续性方程为：
$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot(\rho \mathbf U)=0$∂t∂ρ​+∇⋅(ρU)=0
拆分为：

将剪切应力$\tau$τ引入，则：
$\tau=2\mu \mathbf D-\frac23\mu(\nabla \cdot \mathbf U)\mathbf I\\[2ex] \qquad \qquad\qquad\quad=2\mu \mathbf D \underbrace{ -\frac23\mu \left(-\frac 1\rho[\frac{\partial \rho}{\partial t}+\mathbf U\cdot \nabla\rho]\right) \mathbf I }_{`膨胀粘度项`}$τ=2μD−32​μ(∇⋅U)I=2μD‘膨胀粘度项‘−32​μ(−ρ1​[∂t∂ρ​+U⋅∇ρ])I​​
该项主要与体积的膨胀和压缩有关。

不可压缩流

对于不可压缩流体来讲，$\rho=constant$ρ=constant，膨胀粘度项可忽略。方程两边同时除以密度，有：

$\frac{\partial \mathbf U}{\partial t}+\nabla \cdot {(\mathbf U \mathbf U ) }=\nabla \cdot \frac { \tau}{ \rho}-\nabla \frac p{\rho}+ \mathbf g$∂t∂U​+∇⋅(UU)=∇⋅ρτ​−∇ρp​+g
令 $p=\frac p \rho$p=ρp​（运动压力），$\tau=\frac{\tau}{\rho}$τ=ρτ​,
$\frac{\partial \mathbf U}{\partial t}+\nabla \cdot {(\mathbf U \mathbf U ) }=\nabla\cdot {\mathbf \tau} -\nabla p+ \mathbf g$∂t∂U​+∇⋅(UU)=∇⋅τ−∇p+g

此时，

若动力粘度为常量，则：

带下划线的项产生张量，可通过连续性方程简化。因此我们得到了拉普拉斯方程（泊松）：

参考：
Tobias Holzmann，Mathematics, Numerics, Derivations and OpenFOAM.