一、最大元

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< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , y ∈ B y \in B y∈B ,

B B B 中的所有元素与 y y y 都是可比的 , B B B 中的任意元素 x x x , 都满足 x x x 小于等于 y y y

符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) \forall x ( x \in B \to x \preccurlyeq y ) ∀x(x∈B→x≼y)

称 y y y 是 B B B 集合的最大元 ;

二、最小元

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< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , y ∈ B y \in B y∈B ,

B B B 中的所有元素与 y y y 都是可比的 , B B B 中的任意元素 x x x , 都满足 y y y 小于等于 x x x

符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) \forall x ( x \in B \to y \preccurlyeq x ) ∀x(x∈B→y≼x)

称 y y y 是 B B B 集合的最小元 ;

三、最大元、最小元示例

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集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ∣” 是偏序关系 ,

偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,∣>

x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​
y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​

绘制上述偏序集的哈斯图 :

B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1​={1,2,3}

B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2​={3,5,15}

B 3 = A B_3 = A B3​=A

求上述集合的 最大元 , 最小元 ?

B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1​={1,2,3}

• 最大元 : 2 , 3 2, 3 2,3互相不可比 , 没有最大元 ;
• 最小元 : 1 1 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 1 1 1 是最小元 ;

B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2​={3,5,15}

• 最大元 : 15 15 15 与其它元素都是可比的 , 都大于等于其它元素 , 15 15 15 是最大元 ;
• 最小元 : 3 , 5 3, 5 3,5互相不可比 , 没有最小元 ;

B 3 = A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} B3​=A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

• 最大元 : 9 , 4 , 6 , 15 , 10 9,4,6,15,10 9,4,6,15,10互相不可比 , 没有最大元 ;
• 最小元 : 1 1 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 1 1 1 是最小元 ;

四、极大元

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< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , y ∈ B y \in B y∈B ,

在 B B B 中没有比 y y y 更大的元素 ,

符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B ∧ y ≼ x → x = y ) \forall x ( x \in B \land y \preccurlyeq x \to x = y ) ∀x(x∈B∧y≼x→x=y)

称 y y y 是 B B B 集合的 极大元 ;

五、极小元

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< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , y ∈ B y \in B y∈B ,

在 B B B 中没有比 y y y 更小的元素 ,

符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B ∧ x ≼ y → x = y ) \forall x ( x \in B \land x \preccurlyeq y \to x = y ) ∀x(x∈B∧x≼y→x=y)

称 y y y 是 B B B 集合的 极小元 ;

六、极大元、极小元示例

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集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ∣” 是偏序关系 ,

偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,∣>

x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​
y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​

绘制上述偏序集的哈斯图 :

B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1​={1,2,3}

B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2​={3,5,15}

B 3 = A B_3 = A B3​=A

求上述集合的 极大元 , 极小元 ?

B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1​={1,2,3}

• 极大元 : 2 , 3 2, 3 2,3互相不可比 , 没有比 2 , 3 2,3 2,3 更大的元素 , 2 , 3 2,3 2,3 是极大元 ;
• 极小元 : 1 1 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 没有比 1 1 1 更小的元素 , 1 1 1 是极小元 ;

B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2​={3,5,15}

• 极大元 : 15 15 15 与其它元素都是可比的 , 都大于等于其它元素 , 没有比 15 15 15 更大的元素 , 15 15 15 是 极大元 ;
• 最小元 : 3 , 5 3, 5 3,5互相不可比 , 没有比 3 , 5 3,5 3,5 更小的元素 , 3 , 5 3,5 3,5 是极小元 ;

B 3 = A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} B3​=A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

• 极大元 : 9 , 4 , 6 , 15 , 10 9,4,6,15,10 9,4,6,15,10互相不可比 , 没有比 9 , 4 , 6 , 15 , 10 9,4,6,15,10 9,4,6,15,10 更大的元素 , 9 , 4 , 6 , 15 , 10 9,4,6,15,10 9,4,6,15,10 是极大元 ;
• 极小元 : 1 1 1 与其它元素都是可比的 , 都小于等于其它元素 , 没有比 1 1 1 更小的元素 , 1 1 1 是极小元 ;

七、上界

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< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , y ∈ A y \in A y∈A

y y y 比 B B B 中所有的元素都要大

符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B → x ≼ y ) \forall x ( x \in B \to x \preccurlyeq y ) ∀x(x∈B→x≼y)

称 y y y 是 B B B 集合的 上界 ;

八、下界

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< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , y ∈ A y \in A y∈A

y y y 比 B B B 中所有的元素都要小

符号化表示 : ∀ x ( x ∈ B → y ≼ x ) \forall x ( x \in B \to y \preccurlyeq x ) ∀x(x∈B→y≼x)

称 y y y 是 B B B 集合的 下界 ;

九、上界、下界示例

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集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ∣” 是偏序关系 ,

偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,∣>

x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​
y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​

绘制上述偏序集的哈斯图 :

B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1​={1,2,3}

B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2​={3,5,15}

B 3 = A B_3 = A B3​=A

求上述集合的 上界 , 下界 ?

B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1​={1,2,3}

• 上界 : 6 6 6 与 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 可比 , 6 6 6 比 B 1 B_1 B1​ 中所有元素都大 , 6 6 6 是上界 ;
• 下界 : 1 1 1 与 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 可比 , 1 1 1 比 B 1 B_1 B1​ 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ;

B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2​={3,5,15}

• 上界 : 15 15 15 与 3 , 5 , 15 3 , 5, 15 3,5,15 可比 , 15 15 15 比 B 2 B_2 B2​ 中所有元素都大 , 15 15 15 是上界 ;
• 下界 : 1 1 1 与 3 , 5 , 15 3 , 5, 15 3,5,15 可比 , 1 1 1 比 B 2 B_2 B2​ 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ;

B 3 = A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} B3​=A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

• 上界 : 不存在元素与 B 3 B_3 B3​ 中的元素都可比 ; 不存在上界 ;
• 下界 : 1 1 1 与 B 3 B_3 B3​ 中的元素可比 , 1 1 1 比 B 3 B_3 B3​ 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ;

十、上确界 ( 最小上界 )

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< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , y ∈ A y \in A y∈A

上界中最小的元素就是 最小上界, 又称为上确界

十一、下确界 ( 最大下界 )

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< A , ≼ > <A, \preccurlyeq> <A,≼> 是 偏序集 , B ⊆ A B \subseteq A B⊆A , y ∈ A y \in A y∈A

下界中最大的元素就是 最大下界, 又称为下确界

十二、上确界、下确界示例

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集合 A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} A={1,2,3,4,5,6,9,10,15} ,

集合 A A A 上的整除关系 “ ∣ | ∣” 是偏序关系 ,

偏序集是 < A , ∣ > <A, |> <A,∣>

x x x 整除 y y y , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​
y y y 能被 x x x 整除 , x x x 是除数 (分母) , y y y 是被除数 (分子) ; y x \dfrac{y}{x} xy​

绘制上述偏序集的哈斯图 :

B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1​={1,2,3}

B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2​={3,5,15}

B 3 = A B_3 = A B3​=A

求上述集合的 上确界( 最小上界 ) , 下确界 ( 最大下界 ) ?

B 1 = { 1 , 2 , 3 } B_1 = \{ 1,2,3 \} B1​={1,2,3}

• 上确界 : 6 6 6 与 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 可比 , 6 6 6 比 B 1 B_1 B1​ 中所有元素都大 , 6 6 6 是上界 ; 6 6 6 也是上确界 , 最小上界 ;
• 下确界 : 1 1 1 与 1 , 2 , 3 1, 2, 3 1,2,3 可比 , 1 1 1 比 B 1 B_1 B1​ 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ; 1 1 1 也是下确界 , 最大 下界 ;

B 2 = { 3 , 5 , 15 } B_2 = \{ 3 , 5, 15 \} B2​={3,5,15}

• 上确界 : 15 15 15 与 3 , 5 , 15 3 , 5, 15 3,5,15 可比 , 15 15 15 比 B 2 B_2 B2​ 中所有元素都大 , 15 15 15 是上界 ; 15 15 15 也是上确界 , 最小上界 ;
• 下确界 : 1 1 1 与 3 , 5 , 15 3 , 5, 15 3,5,15 可比 , 1 1 1 比 B 2 B_2 B2​ 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ; 1 1 1 也是上确界 , 最小上界 ;

B 3 = A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 9 , 10 , 15 } B_3 = A = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 15 \} B3​=A={1,2,3,4,5,6,9,10,15}

• 上确界 : 不存在元素与 B 3 B_3 B3​ 中的元素都可比 ; 不存在上界 ; 不存在 上确界 / 最小上界 ;
• 下确界 : 1 1 1 与 B 3 B_3 B3​ 中的元素可比 , 1 1 1 比 B 3 B_3 B3​ 中所有元素都小 , 1 1 1 是下界 ; 1 1 1 也是上确界 , 最小上界 ;