关于真空中无源波动方程的理解

最近在复习电磁场的有关知识，想要记录一下学习体会。

今天看了时变电磁场的有关章节，里边讲到了真空中的无源波动方程。我们回顾一下它的推到过程。

首先，该公式肯定是由麦克斯韦方程组得出的，所以我们先来写出真空条件下的麦克斯韦第一第二方程：

然后对二式左右两边同时取旋度，得到：

再然后就需要用到矢量恒等式了。由于一些矢量恒等式我一直没有搞明白，所以今天重点学习一下这部分的内容。

问：旋度的旋度等于什么？
我一直记不住这个公式，按照网上的说法，它等于散度的梯度减去拉普拉斯算子。

到这里我又有疑问了。

问：散度的梯度和拉普拉斯算子有什么区别？
从外观上看，两者都是一个矢量前边加了两个三角算子。
标量的拉普拉斯算子结果为标量，矢量的拉普拉斯算子结果则为矢量（三个标量的矢量和）这一点是无需置疑的。
同时，一个矢量的散度为标量，标量的梯度为矢量，即一个矢量散度的梯度是一个矢量。
总上，右边两项都是矢量；而旋度的旋度就好说了，一个矢量不论取多少次旋度，结果都是矢量。即左右两边都是矢量。

问：到底为什么同一个矢量，加了同样的两个三角算子，结果会不一样呢？
我是这么理解的：首先，拉普拉斯算子本来是对标量进行的操作，之所以在这里用于矢量操作，是因为先把这个矢量分解为了三个标量，也可以理解为这个矢量是一个“假矢量”。对这个假矢量的三个标量分别进行拉普拉斯运算，可以得到三个标量，再由得到的三个标量组合为一个”假结果矢量”。也就是说，这个矢量只是在输入和输出这两个接口是矢量，箱子里的运算过程都是标量运算。
下面再来看散度的梯度。散度的输入肯定是矢量，运算过程也是按矢量计算的，只是结果是标量。而标量的梯度是矢量，这个是比较好理解的，就不多说了。

问：旋度的旋度到底有何物理意义？
这个我没有查到，欢迎大佬补充。

这样，经过一番骚操作，我们得出旋度的旋度等于散度的梯度减去拉普拉斯算子。由于自由空间是无源场，所以电场的散度为零。也就是消去了第一项，只剩下了拉普拉斯算子。
同时，等式右边的矢量对时间求导，也可以理解为假矢量运算，即对三个标量分别运算。
这样结果就很完美了，唯一的真矢量被消去了，左边是假矢量，右边也是假矢量，极具对称美感。

问：完整的推导过程？