数据分析之数学基础篇（二）——统计知识总结

1.大数定理与中心极限定理
大数定理：随着样本的增加，样本的平均数将接近于总体的平均数，故推断中，一般会使用样本平均数估计总体平均数。
大数定律讲的是样本均值收敛到总体均值
中心极限定理：独立同分布的事件，具有相同的期望和方差，则事件服从中心极限定理。他表示了对于抽取样本，n足够大的时候，样本分布符合x~N(μ,σ^2)
中心极限定理告诉我们，当样本量足够大时，样本均值的分布慢慢变成正态分布

2.抽样
简单随机抽样
分层抽样：先依据特征将总体划分为多个部分，然后在各个子部分进行抽样
等距抽样：先将总体按照某一标准排列，然后按照固定的间隔进行抽取
整群抽样：先将总体（学生）按单位划分为多个群（班级），然后在各个群众进行抽取
多阶段抽样：先按总体的层次关系进行划分，再随机抽取高层次的群，然后依次按层次抽取

3.抽样分布
卡方分布：若n个相互独立的随机变量ξ₁，ξ₂，…,ξn ，均服从标准正态分布（也称独立同分布于标准正态分布），则这n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量，其分布规律称为卡方分布。期望E（χ2）=n，方差D(χ2)=2n
t分布：假设X服从标准正态分布N（0,1），Y服从自由度为n的卡方分布，Z=X/sqrt(Y/n)
的分布称为自由度为n的t分布，t分布是正态分布的小样本形态。期望 E（T）=0，方差 D(T)=n/(n-2),n>2
F分布：设X1服从自由度为m的χ2分布,X2服从自由度为n的χ2分布，且X1、X2相互独立，则称变量F=(X1/m)/(X2/n)所服从的分布为F分布。期望E(F)=n/(n-2)，方差D(F)=[2n^2(m+n-2)] / [m(n-2)^2(n-4)] (n>4)

4.参数估计
参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数
点估计：样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值
区间估计：在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到
置信区间：由样本统计量所构造的总体参数的估计区间
置信水平：构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例

5.假设检验
H0 : μ = μ0 或 H0 : μ - μ0 = 0