Mathematica矩阵对角化

Question

我正在考虑矩阵A，使得A = PDP^-1。

我解决这个使用Mathematica的方法是：

a={{0, -1}, {-1, 0}} 
d = DiagonalMatrix[Eigenvalues[a]] 
{{-1,0}, {0,1}} 
p = Transpose[Eigenvectors[a]] 

p.d.Inverse[p] 
{{0, -1}, {-1, 0}} 

这是正确的。

问题是，P矩阵不是我所期望的那样。该数学产生的矩阵是

p={{1, -1}, {1, 1}} 

但是我正在寻找

p2={{1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]}, {1/Sqrt[2], -(1/Sqrt[2])}} 
p2.d.Inverse[p2] 
{{0,-1}, {-1,0}} 

这也解决了方程。有什么办法让我强制Mathematica在执行Transpose [Eigenvectors [a]]时向我展示不同的答案？

Answer 1

你需要做的是规范你得到的答案。有一个叫Normalize功能，它可以这样使用：

Normalize /@ {{1, -1}, {1, 1}} 

Answer 2

你可以正常化的特征向量：

a = {{0, -1}, {-1, 0}}; 
d = DiagonalMatrix[Eigenvalues[a]]; 
p = Transpose[Normalize /@ Eigenvectors[a]]; 

所以p是你想要什么：

{{1/Sqrt[2], -(1/Sqrt[2])}, {1/Sqrt[2], 1/Sqrt[2]}} 

Answer 3

特征向量可以*重新缩放一个常数，这意味着有无数个可能的特征向量。自然，Mathematica不能也不会向你展示所有这些。所以你需要以某种方式规范特征向量。

一种选择是使用N将矩阵转换为数字形式。 Mathematica返回数字矩阵的归一化特征向量。

p2 = Transpose[Eigenvectors[N[a]]] 

这是有风险的，但是，因为计算数字矩阵可以经常失败壮观的逆由于各种数值误差。

另一种更好的选择是使用Normalize手动标准化特征向量。你必须把它应用到每一个特征向量由Eigenvectors函数返回的列表：

p2 = Transpose[Normalize/@Eigenvectors[a]] 

Answer 4

也许你应该考虑一个内置的矩阵分解工具？当然，有许多矩阵分解，其中许多是内置于Mathematica中的。可能最符合您情况的那个是JordanDecomposition。这是在行动

SeedRandom[1]; 
a = RandomReal[{-2, 2}, {4, 4}]; 
{s, j} = JordanDecomposition[a]; 
Column[MatrixForm /@ {s, j}] 

当然，许多矩阵不是对角化，但是，如果是，那么乔丹分解会给你想要的东西。向量被归一化，就像Eigen函数对它们进行归一化一样，但我不明白为什么这是一个问题。