高等数学9.1
第九章:多元函数的微分法及其应用
平面点集:
首先以邻域的概念引入。需要注意的是,在高数上时,邻域指的是数轴上的一段区间(一元函数),而在二元函数中,邻域是指一个圆。由此产生了区域的概念,还定义了一堆东西:内点,外点,边界点,聚点,开集,闭集,连通集,区域,闭区域,有界集,*集(详见同济高数P55-P56)
多维的基本图景构建完毕。
多元函数:
就是多个未知数的函数。一般以二元函数为例。
形如F(x,y)=z;几何意义由二维进入到三维。
图形为“一张”曲面:x,y为横纵坐标,为自变量,z为竖坐标,是因变量
多元(二元)函数的极限:
说到极限一般都是解决两个问题:
1. 如何判定极限是否存在?
2. 如何确定函数的极限?
二元极限的求法比较简单:套用一元函数求极限的方法,这里总结一下:
A:定义法
C:两个重要的极限
D:等价无穷小
E:连续函数直接代入
F:极限直接进行四则运算
重点:二元函数的极限存在判定:
书上原话,很精辟;
如果函数上一点以某一特殊方式(例如沿着某一定直线或定曲线)趋于定点时,即使函数值趋近于某一值,也不能判定其有极限。
如果以不同的方式趋近与不同的值,则可以确定其没有极限。
参见一下例题:
所以总结一下判断方案有两种:
1. 以不同的方式靠近(x,y轴)这是二次极限
2. 以直线/曲线方式靠近
二元函数极限的特点:
1.趋近方式任意2.是二重极限不是二次极限3.运算发则与一元类似