线性代数 行列式
**** 的文档显示有一些问题，一些数学符号显示不正确，想看 word文档 的可以移步到 github ： https://github.com/IceEmblem/-/tree/master/%E5%AD%A6%E4%B9%A0%E8%B5%84%E6%96%99/%E5%B9%B3%E5%8F%B0%E6%97%A0%E5%85%B3/%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BB%A3%E6%95%B0
n阶行列式
二阶行列式
我们用如下符号表示二阶行列式
该二阶行列式的值为 a11*a22 - a12*a21
三阶行列式
如下，三阶行列式的符号
三阶行列式的值为
a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a11a23a32 - a12a21a33 - a13a22a31
n阶行列式
如下n阶行列式的符号，我们可以使用D来表示某个行列式
我们可以发现行列式的值是由“一般项”组成，如上三阶行列式由6个一般项相加而成，其分别为
a11a22a33
a12a23a31
a13a21a32
-a11a23a32
-a12a21a33
-a13a22a31
观察这6个一般项，我们可以使用如下方法来表述
a1j1a2j2a3j3
其中123是固定的，而j1 j2 j3则是123的随机排列，如123的排列有如下：
123，231，312，132，213，321
所以我们使用如下符号表示n阶行列式的一般项
j1 j2 .... jn表示1...n的随机排列，例如：
排列213，则此时j1为2，j2为1，j3为3，该排列的一般项为 (-1)N(213)a12a21a33
排列321，此时j1为3，j2为2，j3为1，该排列的一般项为 (-1)N(321)a13a22a31
当一般项的所有排列相加时，便是n阶行列式的值
逆序 N(j1 j2 ... jn)
上面介绍的一般项表达式中有 N(j1 j2 ... jn) 这么一个东西，N(j1 j2 ... jn) 称为1...n某个排序的逆序数，如
组合312，3大于1，3大于2，所以逆序数为2，称为“偶排列”，N(312)为2
组合321，3大于1，3大于2，2大于1，所以逆序数为3，称为“奇排列”，N(321)为3
定理：排列中的任意2个数对换后，其奇偶性发生改变
如 N(123) 为0属于偶排列，将1和3对换，则 N(321) 为3属于奇排列
证：？？？赖的证明，记住定理就行了
定理：1...n的所有排列中，奇偶排列各占一般
三角行列式
如下，行列式对角线的一边全是0
则该行列式的值为 a11a22a33...ann
证：对于某个排列 a1j1a2j2a3j3...anjn，如果j1的值不为1，那么a1j1等于0，则这个一般项就等于0，如果j1为1，那么j2的值为2-n，如果这个排列的j2不为2，那么a2j2等于0，则这个一般项就等于0，同理其他一般项
行列式的性质
性质：将行列式的进行转置，行列式的值不变
意思就是将所有的axy变为ayx，行列式的值不变，如下行列式2就是行列式1转置而来
性质：交互行列式的行或列，行列式的值变号
如下，我们将行列式D的第1行与第二行的值进行交换得到新的行列式D2
则交换后的行列式D1的值等于 -D
推论：如果行列式中第s行（或列）与第j行（或列）的元素的值相同，那么这个行列式的值为0
如下行列式
第1行与第3行的元素相同，如果我们将第1行和第3行交换，那么就会有D=-D1=D1，所以只有D为0才会有-D1=D1
性质：某个行列式的某行（或列）具有公因子，那么可以提取这个因子到行列式外
如下：
D1 = D2 * 3
推论：如果行列式中第s行（或列）与第j行（或列）的元素的值成比例，那么这个行列式的值为0
如上，第一行与第二行的元素成比例，当我们提交公因子后，他们2行会相等，所以为0
性质：行列式某行（或列）的值由两个值相加而成，那么可以将其拆分为2个行列式的和
如上，D=D1+D2
性质：将某一行（或列）的元素加上另外一行（或列）的元素的k倍，行列式的值不变
如下，将第二行的元素加上第三行的元素的3倍
行列式展开
余子式
选定行列式D的某个元素，将其所在的行和列移除，将剩余的元素按照其原来的位置重新组成行列式D1，D1称为D的余子式，记为Mij，ij为第i行第j列
如下，右边的行列式为左边行列式的余子式，记为M22，
代数余子式
代数余子式记为Aij，
Aij = (-1)i+jMij
注：余子式就是剩余的行列式，但代数余子式并不是剩余的行列式
定理：n阶行列式等于其某一行（或列）的元素乘以该元素对应的代数余子式的和
D = ai1Ai1 + ai2Ai2 ... + ainAin
i表示第i行，如ai1Ai1表示第i行第1个元素ai1乘以其对应的代数余子式Ai1
定理：n阶行列式的某一行乘以另外一行对应的代数余子式的和为0
如下
我们知道，第1行乘以第1行的代数余子式就是行列式，那第1行乘以第3行的代数余子式表示的是什么呢，其表示的就是如下行列式，实际上这个定理就是说第1行与第3行相等
克莱姆法则
如下方程式
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
该方程式我们可以建立如下行列式
我们使用aij建立行列式D，然后用b替换掉对应的列，我们将等到的行列式称为Dj
同理n阶行列式
定理（克莱姆法则）：当线性方程组系数D的值不为0时，有唯一解 xj = Dj/D
意思就是线性方程组的解xj = Dj/D
克莱姆法则的推理有点绕，反正你们也记不住，所以就不推了
齐次线性方程组
如下方程式
a11x1 + a12x2 + a13x3 = 0
a21x1 + a22x2 + a23x3 = 0
a31x1 + a32x2 + a33x3 = 0
如果b1...bn均为0，那么我们称其为齐次线性方程组
齐次线性方程组一定有一个解（当然还有其他解），就是x1...xn均为0
定理：如果齐次线性方程组的系数行列式D不等于0，那么它仅有0解
也就是说如果D的值不等于0，那么他的解只有一个，x1...xn均为0