一 集合：

具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体。比如整数集合：{…,-1,0,1,…}用Z表示；偶数的集合：{x|x=2n,n∈Z}，(满足能被2整除的整数的集合)。能被2整除的整数就是偶数集合具有的特定性质。

二 仿射集合：

从上面的集合定义我们已经知道，满足某种特定性质的对象而汇总成的叫集合。那么如果一个集合里面的元素满足：

θx1+(1-θ)x2∈C，x1，x2∈C，θ∈R  -----这个特定性质，那么这个集合称为仿射集合。直线、平面和超平面都是仿射集

下面来分析一下这个性质。为什么要满足这个性质呢？这个性质有什么特点呢？

R^n空间中的任意两点x1，x2有下列形式的点y=θ*x1+(1-θ)*x2，θ∈R，这个式子可以变形为y=θ(x1-x2)+x2，这是一个斜率为(x1-x2),定义域为θ的直线，而它又过两点x1和x2两点，所以y点构成是过x1和x2的直线。也就是说这个性质构成的集合C中包含了任意两点的系数之和为1的线性组合。

上面我们已经知道什么是仿射集合，满足了上面的特性就是仿射集合，反过来说仿射集合里面的任意两个点具有上面的特性(θx1+(1-θ)x2∈C)。那么仿射集合里面的三个点，或者多个点当了满足，∈C时,仿射组合所构成的点是否还在仿射集合C中？

证明仿射集合中三个点构成的仿射组合仍然在仿射集合中。

由上面的证明方法，可以扩展到多个。所以∈C

三 仿射包

任意集合C，C中的点的所有仿射组合组成的集合为C的仿射包，记为affC。仿射包是包含C的最小的仿射集合。

下面的图是自己根据定义举的一个例子，看看这个仿射包里究竟放的是什么元素。

从上面的图中不难看出仿射包包含着原来的集合C，此处就能明白了定义中：“仿射包是包含C的最小的仿射集合”中提到的仿射包是包含C的集合。

为了进一步理解“仿射包是包含C的最小的仿射集合”这句话，任意集合C，包括x1，x2，x3，x4 四个元素。如下图所示任意选择了几个符合要求的θ值。得到了A,B,x1，x2四个affC中的点。取此四个点，满足条件的任意的四个θ值，作仿射组合。得到的点发现也是满足仿射组合的。而且这个点一定在affC中的，因为affC中包含C中元素的任意仿射组合的元素。根据此处不难看出affC是仿射集合。(这里的例子是帮助自己理解，如果有更好的证明过程，万分感谢分享。)

“仿射包是包含C的最小的仿射集合”中为什么说是最小的仿射集合呢？此处还没有更好的解释先挂着了。后续有再修改。

意义：通过任意一个集合的元素，构造成一个包括这个集合的仿射集合。

四 凸集

如果集合C中任意两点间的线段(线段上的点)仍在C中，则称C为凸集。另一种表达方式是：任意的x1，x2∈C，满足0≤θ≤1，并且θx1+(1-θ)x2∈C，那么C为凸集。仿射集的条件比凸集的条件强，仿射集对θ的要求包括凸集中对θ的要求。所以仿射集必然是凸集

 1 凸组合

的点，其中和 ，则称点 的凸组合。点的凸组合可看做它们的混合或者加权平均。

 2 凸包

集合C中所有点的凸组合的集合为凸包记为convC。此处可以看关于仿射包的解释，他们唯一的区别就是θ的取值。仿射包：θ∈R。凸包：θ∈[0,1]

 3 锥

4 凸锥

如果集合C为锥，并且是凸的，则C为凸锥。即对于任意的x1和x2∈C，θ1，θ2≥0，θx1+(1-θ)x2∈C

五 超平面、半空间

它们都是凸集。

超平面（hyperplane）的定义：

。其中a是一个非零向量，b 是实数，即 a≠0,b∈R。超平面是关于x的非平凡线性方程的解空间。
几何意义是：从满足条件 的任意一点 x0出发的向量 与a的所有垂线的集合；也可以解释为与向量a的內积为常数的点的集合；法线方向的a的超平面，而常数b∈R决定了这个平面从原点的偏移。

 

半空间

一个超平面将R^n划分为两个半空间。半空间有如下形式，也就是线性不等式解的空间。其中 a≠0 ，半空间是凸的，但不是仿射的。
平面是点组成的，而特殊的点组成超平面。特殊之处就是：与给定向量内积为常数。超平面划分出半空间

六 空间球、范数球

1空间球

2范数球

七 多面体、单纯形

1 多面体

定义：有限个线性等式和不等式的解集。

因此多面体是有限个半空间和超平面的交集。仿射集合(子空间、超平面、直线)、射线、线段和半空间都是多面体

2 单纯形

一些常见的单纯形：一维单纯形是线段；二维单纯形是一个三角形；三维单纯形是一个四面体

八 仿射函数

九 超平面分离定理

总结：

让学习有质感，有逻辑。