相机校参及C-arm校参 Camera calibration & X-ray calibration 02
相机校参及C-arm校参 Camera calibration & X-ray calibration 02
今天想说一下相机或小孔相机的instrinsic and extrinsic parameters.
从我们眼中的三图维物体到相机的二维物体，再到相机内的光学传感元器件输出数字图像信号，要经过几次的转换。在这些变换中，设计到了几次坐标系的变换。
- 世界坐标系 用标记o来表示So world coordinate system
- 相机坐标系 用标记k来表示Sk camera coordinate system
- 图像坐标系 用标记c来表示Sc image coordinate system
- 传感器坐标系 用标记s来表示Ss sensor coordinate system
【fig1】从图中可以发现相机坐标系和图像坐标系的联系。两个坐标系的X坐标和Y坐标系平行。但是图像坐标系是二维坐标系，所以没有Z坐标系。而图像坐标系中的点在相机坐标系中表示，Z向量的值恒定，为“c”。而传感器坐标系的X坐标和Y坐标，在ideal perspective projection的假设下，和图像坐标系是平行的。但实际情况下应该考虑projective transfomration中sheer的情况，但是在本篇内容中不考虑这种情况。咱们先从最简单的刚体rigidity body的情况入手。
【fig2】由上图可以看到，从三维世界转变到二维传感器上的数字数字总共要经过3次过程。（依旧不考虑非线性变形的情况）如果把每次转变过程够看做是一个homogeneous matrix（HM）的话，一共需要求出3个HM（Hsc Hck Hko），这三个变换矩阵的顺序显然是不能改变的，因为如图中所画，比如O->K这个过程就是non-invertible的，正因如此，所以要到从2D->3D是存在information loss。
【fig3】extrinsic parameter指的是外部世界坐标系和相机坐标的（相机镜头原点）的位置关系，可以用3个trans parameter和3个rot parameters来表示。而intrinsic parameters则是指的相机坐标系映射到二维图像平面及像素坐标系上的平移，变形，畸变上的参数。所以intrinsic parameter和相机的位置，方向都没有关系，所以名字由此而来。
由O->K坐标系的转换（extrinsic parameters）
Xp表示世界坐标系中的点
Xpk表示世界坐标系中的点在相机坐标系中的表示
Xo表示世界坐标系中的相机原点的表示
用Euclidian coordinate的表示法：
Xpk = R （Xp - Xo）
而用HC坐标系可以表示如下（可以发现homogeneous coordinate可以很方便的分离旋转变量和拉伸变量，进而简化了计算）【fig4】
【fig5】可以看到，3D世界坐标系的P点，经过pinhole camera的中心点后，最后落在了图像平面上（P bar），传感器内部的偏差后，最后在传感器的坐标点为（P’）。
由K->C坐标系的转换（extrinsic parameters）
那intrinsic parameter就是描述由相机坐标系到传感器坐标系的转换。首先来求3D->2D的转换。这个转换过程中失去了一些信息。图像有3D变为了2D。而且也是个不可逆的过程。由相机的中心点（principle center）连接世界坐标系的P坐标和P bar构成直线，由intercept theorem可以得到p bar的坐标。【fig6】
值得指出的是：1. 可以看到图中的c<0, 而且成像的平面在相机镜头平面前，是经过180度翻转的结果，这样便于后面的计算【fig7】。另外上面的表达式，可以写成HC的形式如下【fig9】：
由此我们已经可以把三维坐标系中的点和二维坐标系中的点联系在一起，得到转换系数Pc为：