【剑指offer】数组中的逆序对

题目描述

在数组中的两个数字，如果前面一个数字大于后面的数字，则这两个数字组成一个逆序对。输入一个数组,求出这个数组中的逆序对的总数P。并将P对1000000007取模的结果输出。即输出P%1000000007

输入描述:

题目保证输入的数组中没有的相同的数字

数据范围：

对于%50的数据,size<=10^4

对于%75的数据,size<=10^5

对于%100的数据,size<=2*10^5

示例1

输入

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1,2,3,4,5,6,7,0

输出

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链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/96bd6684e04a44eb80e6a68efc0ec6c5
来源：牛客网

思路分析：

看到这个题目，我们的第一反应是顺序扫描整个数组。每扫描到一个数组的时候，逐个比较该数字和它后面的数字的大小。如果后面的数字比它小，则这两个数字就组成了一个逆序对。假设数组中含有n个数字。由于每个数字都要和O(n)这个数字比较，因此这个算法的时间复杂度为O(n^2)。

我们以数组{7,5,6,4}为例来分析统计逆序对的过程。每次扫描到一个数字的时候，我们不拿ta和后面的每一个数字作比较，否则时间复杂度就是O(n^2)，因此我们可以考虑先比较两个相邻的数字。

【剑指offer】数组中的逆序对

(a) 把长度为4的数组分解成两个长度为2的子数组；

(b) 把长度为2的数组分解成两个成都为1的子数组；

(d) 把长度为2的子数组合并、排序，并统计逆序对；

在上图（a）和（b）中，我们先把数组分解成两个长度为2的子数组，再把这两个子数组分别拆成两个长度为1的子数组。接下来一边合并相邻的子数组，一边统计逆序对的数目。在第一对长度为1的子数组{7}、{5}中7大于5，因此（7,5）组成一个逆序对。同样在第二对长度为1的子数组{6}、{4}中也有逆序对（6,4）。由于我们已经统计了这两对子数组内部的逆序对，因此需要把这两对子数组排序如上图（c）所示， 以免在以后的统计过程中再重复统计。

接下来我们统计两个长度为2的子数组子数组之间的逆序对。合并子数组并统计逆序对的过程如下图如下图所示。

我们先用两个指针分别指向两个子数组的末尾，并每次比较两个指针指向的数字。如果第一个子数组中的数字大于第二个数组中的数字，则构成逆序对，并且逆序对的数目等于第二个子数组中剩余数字的个数，如下图（a）和（c）所示。如果第一个数组的数字小于或等于第二个数组中的数字，则不构成逆序对，如图b所示。每一次比较的时候，我们都把较大的数字从后面往前复制到一个辅助数组中，确保 辅助数组（记为copy） 中的数字是递增排序的。在把较大的数字复制到辅助数组之后，把对应的指针向前移动一位，接下来进行下一轮比较。

【剑指offer】数组中的逆序对

过程：先把数组分割成子数组，先统计出子数组内部的逆序对的数目，然后再统计出两个相邻子数组之间的逆序对的数目。在统计逆序对的过程中，还需要对数组进行排序。如果对排序算法很熟悉，我们不难发现这个过程实际上就是归并排序。参考代码如下：

class Solution {
public:
int InversePairs(vector<int> data) {
        if(data.size()<=1) return 0;//如果少于等于1个元素，直接返回0
        int* copy=new int[data.size()];
        //初始化该数组，该数组作为存放临时排序的结果，最后要将排序的结果复制到原数组中
        for(unsigned int i=0;i<data.size();i++)
            copy[i]=0;
        //调用递归函数求解结果
        int count=InversePairCore(data,copy,0,data.size()-1);
        delete[] copy;//删除临时数组
        return count;
    }
     //程序的主体函数
    int InversePairCore(vector<int>& data,int*& copy,int start,int end)
    {
        if(start==end)
        {
            copy[start]=data[start];
            return 0;
        }
        //将数组拆分成两部分
        int length=(end-start)/2;//这里使用的下标法，下面要用来计算逆序个数；也可以直接使用mid=（start+end）/2
        //分别计算左边部分和右边部分
        int left=InversePairCore(data,copy,start,start+length)%1000000007;
        int right=InversePairCore(data,copy,start+length+1,end)%1000000007;
        //进行逆序计算
        int i=start+length;//前一个数组的最后一个下标
        int j=end;//后一个数组的下标
        int index=end;//辅助数组下标，从最后一个算起
        int count=0;
        while(i>=start && j>=start+length+1)
        {
            if(data[i]>data[j])
            {
                copy[index--]=data[i--];
                //统计长度
                count+=j-start-length;
                if(count>=1000000007)//数值过大求余
                    count%=1000000007;
            }
            else
            {
                copy[index--]=data[j--];
            }
        }
        for(;i>=start;--i)
        {
            copy[index--]=data[i];
        }
        for(;j>=start+length+1;--j)
        {
            copy[index--]=data[j];
        }
        //拷贝
        for(int i=start; i<=end; i++) {
            data[i] = copy[i];
        }
        //返回最终的结果
        return (count+left+right)%1000000007;
    }
};

参考自牛客大佬。

【剑指offer】数组中的逆序对

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输入

输出

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