递推关系中的数列通项
http://blog.csdn.net/pipisorry/article/details/78142983
普通方法
叠加法/叠乘法
公式法
阶差法
待定系数法
辅助数列法
归纳、猜想
倒数法
特征方程法
(一阶线性递推式)
设已知数列的项满足,其中求这个数列的通项公式?
特征方程法:针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为特征方程;借助这个特征方程的根快速求解通项公式.
定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为,则当时,为常数列,即,其中是以为公比的等比数列,即.
证明:因为由特征方程得作换元则
当时,,数列是以为公比的等比数列,故当时,,为0数列,故(证毕)
Note: 本质是就是带有不定项的辅助数列法嘛。
示例
例1.已知数列满足:求。
解:作方程
当时,
数列是以为公比的等比数列.于是
(二阶线性递推式)
定理2:对于由递推公式,给出的数列,方程,叫做数列的特征方程。
若是特征方程的两个根,当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组);
当时,数列的通项为,其中A,B由决定(即把和,代入,得到关于A、B的方程组)。
示例
例3:已知数列满足,求数列的通项公式。
解法一(待定系数——迭加法)
由,得,且。
则数列是以为首项,为公比的等比数列,于是。把代入,得
,
,
……
把以上各式相加,得
。
解法二(特征根法):
数列: 的特征方程是:。
,
又由,于是
故
(分式递推式)
定理3:如果数列满足下列条件:已知的值且对于,都有(其中p、q、r、h均为常数,且),那么,可作特征方程.
(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时,
若则
若,则其中
特别地,当存在使b_n0 = 0时,无穷数列不存在.
(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时,则,
其中
示例
例3、已知数列满足性质:对于且求的通项公式.
解:依定理作特征方程变形得其根为故特征方程有两个相异的根,使用定理2的第(2)部分,则有
∴
∴即
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