视频来源：线性代数的本质

1. 向量究竟是什么？

向量有2种解释：

• 空间中的箭头。决定向量的是它的长度以及它所指向的方向。
• 有序的数字列表。假设正在做一个房价的预测，那么，

$\begin{aligned} \begin {bmatrix} 100 \\ 22 \end {bmatrix} \end{aligned}$[10022​]​ 就是一个二维的向量。
其中，每一个数字告诉你在坐标轴中沿该方向走多远。

2. 向量的线性组合、基、张成的空间

$\begin{aligned} \begin {bmatrix} 100 \\ 22 \end {bmatrix} \end{aligned}$[10022​]​表示了这两个数如何拉伸或者压缩一个向量。

基

而在$xoy$xoy坐标系中，有两个特殊的向量，即$x$x方向的单位向量，$y$y方向的单位向量**（基向量）。该空间中的任意向量都可以为这组向量经过缩放或者相加后**得到的结果

向量的线性组合

$\overrightarrow{u}$u， $\overrightarrow{v}$v是两个向量，则$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$au+bv是$\overrightarrow{u}$u与$\overrightarrow{v}$v的线性组合。

张成的空间

$a\overrightarrow{u}+b\overrightarrow{v}$au+bv组合的所有结果称为$\overrightarrow{u}$u与$\overrightarrow{v}$v张成的空间

线性相关

$\overrightarrow{u}$u， $\overrightarrow{v}$v是两个向量，如果至少有一个向量对张成的弓箭没有任何的贡献，则称为是线性相关的。（$\overrightarrow{u}$u与 $\overrightarrow{v}$v本来可以张成一个面的，结果二者搞成了一条线，则说明$\overrightarrow{u}$u与$\overrightarrow{v}$v是线性相关的。）
严格的说，某一个向量是其他向量的线性组合，则蓓表示的向量与其他向量是线性相关的。

3. 矩阵与线性变换

线性变换（旋转与剪切）

线性变化类似于函数的功能，输入一个向量，并且输出该向量的变换。
当满足如下两个条件时，变换为线性的：

1. 直线在变换之后仍然为直线，没有发生弯曲。
2. 原点必须保持固定

捕捉线性变换的方式：

• 若$\overrightarrow{w}： \begin {bmatrix} x \\ y \end {bmatrix}$w：[xy​]是任意一个向量。$\overrightarrow{i}: \begin {bmatrix} a \\ c \end {bmatrix}$i:[ac​]与 $\overrightarrow{j}: \begin {bmatrix} b \\ d \end {bmatrix}$j​:[bd​]为基向量，则只要记录下$\overrightarrow{i}$i与 $\overrightarrow{j}$j​的变化，就可以推断出$\overrightarrow{w}$w在变换之后的位置，不必在乎原本$\overrightarrow{w}$w是什么样的
  
• 也可以把矩阵向量的乘法看作他们的线性组合

4. 行列式

行列式的几何意义？

线性变换的另一个角度的理解：度量了一个变换对空间究竟有多少的拉伸或者挤压。更具体的：测量一个给定区域面积增大或者减少的比例。
以$\begin {bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 2 \end {bmatrix}$[30​02​]为例，就是把单位向量变换成了一个$2*3$2∗3的矩形。同理，对于该向量空间的其他面积来说，变换比例与单位面积变换的比例相同。

行列式为0，代表着什么？

若变换为0，则是将该向量空间压缩到了一条直线或者一个点上。

可以这么说，二维空间的行列式给出的是面积放缩的比例，那么在三维空间中，行列式给出的是体积放缩的比例。

5. 逆矩阵、列空间与零空间

在上图中，矩阵$A$A代表一种线性变换，因此，求解$A\overrightarrow{x}=\overrightarrow{v}$Ax=v，意味着需要寻找一个向量$\overrightarrow{x}$x，使得变换后与$\overrightarrow{v}$v重合。

行列式与方程组的解之间，有啥关系吗？

一般来说，矩阵中两个变换的相继作用体现为矩阵的乘法，在图4中，只要矩阵$A$A不将$\overrightarrow{x}$x降维（$A$A的行列式不为0）它就存在逆变换。如果$A$A的行列式为0，那这个变换就对空间进行了降维打击，此时就没有逆变换，因为将一条线解压缩称为一个面是没有意义的

行列式为0，解可能存在吗？

但是，当矩阵$A$A的逆变换不存在的时候，解依然可能存在，例如当矩阵$A$A刚好将三维空间降维压缩成二维的一条线，运气做够好我们的$\overrightarrow{v}$v向量刚好处在这根线上，那么，这样的情况解就存在。

秩是啥玩意？

矩阵$A$A的变换结果是一维的（一条线），这个时候秩为1。秩代表的是变换后空间的维度

列空间

矩阵$A$A代表着基向量变换后的结果，故而，列空间就是矩阵$A$A的列所张成的空间。

零空间

变换之后，向量落在原点的集合。

6. 非方阵

$\begin {bmatrix} 3 \\ 2 \end {bmatrix}$[32​] 经过变换后得到 $\begin {bmatrix} 1 \\ 7 \\ 8 \end {bmatrix}$⎣⎡​178​⎦⎤​：意味着：
。

同样的：

• $\begin {bmatrix} 1 & 1 \\ 7 & 4 \\ 8 & 2 \end {bmatrix}$⎣⎡​178​142​⎦⎤​所代表的就是：在三维空间中过原点的二维平面。（将三维映射到二维上，每一个基向量（共两个）在变换后都用三个坐标表示）
• $\begin {bmatrix} 1 & 1 & 6 \\ 7 & 4 & 2 \end {bmatrix}$[17​14​62​]则代表的是：将一个三维的压缩成二维的。
  
  视频来源：线性代数的本质

7. 点积究竟是什么？

$\overrightarrow{u}$u与$\overrightarrow{v}$v相乘，几何意义是：$\overrightarrow{u}$u在$\overrightarrow{v}$v上投影的长度$\overrightarrow{v}$v的长度。

• 当两个向量方向大致相同时，点积结果为正
• 当两个向量方向垂直，点积结果为0
  当两个向量方向大致相反，点积结果为负

点积（对应坐标相乘）与向量之间投影有毛线关系？

$\begin {bmatrix} 1 & 2 \end {bmatrix}$[1​2​]的直观理解：二维平面中，$\overrightarrow{i}$i和$\overrightarrow{j}$j​被变换之后，可以用一维中的一条线来表示。：在数轴上表示为

此时，我们把这条直线放在二维平面中，然后找一个向量，与这条直线完全重合，这个时候，二维空间中的基向量，在$\overrightarrow{u}$u上的投影 = $\overrightarrow{u}$u在基向量上的投影。

在与向量$\begin {bmatrix} 3 \\ 4 \end {bmatrix}$[34​]相乘后，

注意：不管任何一个二维到一维的线性变换，都能够在二维空间中找到一个与之对应的向量。这个向量的目的：是把2 * 1维的向量（$\overrightarrow{v} $），都变成一个数。

8. 叉积究竟是什么？

前面提到过，行列式可以度量两个向量面积增大或减少的比例（跟基向量相比）。两个三维向量$\overrightarrow{v}$v和$\overrightarrow{w}$w生成一个新的三维向量$\overrightarrow{p}$p​。$\overrightarrow{p}$p​的长度，就是$\overrightarrow{v}$v和$\overrightarrow{w}$w围成平行四边形的面积，方向需要根据右手定则来确定。

叉积的运算法则

9. 基变换？

可以这么看，同样在一个空间维度中（在同一个地球上），不同的基就相当于说不同语言的人（中文、英语）有一天，Bill想认识一个女孩，于是问你该怎么办。

1. 目标向量左乘基变换矩阵（他的目的：“我想约她，我要怎么办”：翻译成中文===用我们的语言描述他的基向量，此时的结果是表达同样的意思，但是是用我们的语言描述的）
2. 第一步结果左乘线性变换矩阵（你了解后：提供建议）
3. 第二步结果左乘基变换矩阵的逆（你把你的建议翻译成英文）

10. 特征值与特征向量

前面提到过，空间中的向量都可以通过基向量进行变换、裁剪得到，那么，一个向量在变换和裁剪的过程中，基向量所张成的空间其实或多或少都发生了改变，然而，有一些很皮的向量，仍然留在他们原来张成的空间中，这些很皮的向量，就称作为：特征向量，每个特征向量都有一个所属的值，被称为“特征值”。

特征值的大白话解释：其实就是**衡量特征向量在变换中拉伸或者压缩比例的因子。

在三维空间中，如果向量张成的空间（一个立体物体），在变换过程中按照某个值旋转了，那么，旋转的轴就是特征向量。

特征向量与特征值的计算公式

KaTeX parse error: No such environment: equation at position 7: \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ \begin{aligned…
当$\overrightarrow{v}$v为零向量时，本身没有任何帮助，因此，我们需要当$\overrightarrow{v}$v为非零向量时，使$(A- \lambda·I)$(A−λ⋅I)与之相乘为$\overrightarrow{0}$0。即，要求$(A- \lambda·I)$(A−λ⋅I)能够对$\overrightarrow{v}$v实行降维，若要降维，则需要其对应的行列式为0

需要注意的一点是：有几个特征值，不代表有几个特征向量。$\begin {bmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end {bmatrix}$[10​11​]特征值为1，特征向量对应一条。但是，若$\begin {bmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end {bmatrix}$[20​12​]特征值为2，但是特征向量却不止一条，原本空间中所有的向量都是其特征向量。

对角矩阵

如果你足够幸运，你的矩阵为对角矩阵，like this：$\begin {bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end {bmatrix}$[20​03​]。那么，对角线上的每一个元素都是特征值，为什么？因为在原本的空间中，基向量本身就是特征向量，你只是将原本的坐标轴进行了拉伸或者压缩，并没有进行剪切，因此，基向量还是原来的基向量。

11. 抽象向量空间

线性的定义：

怎样把一堆多项式，转换到空间中？

注意上图中基函数的定义