三维旋转矩阵推导
1.绕X轴旋转，
分别求出Y、Z基向量绕X轴旋转θ后描述，
X基向量不变为X'=（1,0,0），
Y基向量绕X轴旋转θ后为Y'=（0，cosθ，sinθ），
Z基向量绕X轴旋转θ后为Z'=（0，-sinθ，cosθ），
若为矩阵乘列向量形式，矩阵为，
1 0 0
0 cosθ -sinθ
0 sinθ cosθ ,
若为行向量乘矩阵形式，矩阵为，
1 0 0
0 cosθ sinθ
0 -sinθ cosθ ,
2.绕Y轴旋转
X基向量绕Y轴旋转θ后为X'=（cosθ，0，-sinθ），
Y基向量不变，为Y'=（0,1,0），
Z基向量绕Y轴旋转θ后为Z'=（sinθ，0，cosθ），
若为矩阵乘列向量形式，矩阵为，
cosθ 0 sinθ
0 1 0
-sinθ 0 cosθ，
若为行向量乘矩阵形式，矩阵为，
cosθ 0 -sinθ
0 1 0
sinθ 0 cosθ，
3.绕Z轴旋转
X基向量绕Z轴旋转θ后为X'=（cosθ，sinθ，0），
Y基向量绕Z轴旋转θ后为Y'=（-sinθ，cosθ，0），
Z基向量不变，为Z'=（0,0,1），
若表示为矩阵乘列向量形式，矩阵为，
cosθ -sinθ 0
sinθ cosθ 0
0 0 1，
若表示为行向量乘矩阵形式，矩阵为，
cosθ sinθ 0
-sinθ cosθ 0
0 0 1，
3.绕任意轴旋转，
为方便推导，设向量n(x0,y0,z0)为单位向量，向量v(x,y,z)
将向量v分解为平行于向量n的向量v∥和垂直于向量n的向量v⊥，
已知，
v=v∥+v⊥，
v'=v'∥+v'⊥=v∥+v'⊥，
而v∥=(v·n)*n，
v⊥=v-v∥=v-(v·n)*n，
令向量w=n×v⊥=n×[v-(v·n)*n]=n×v，其大小为|n|*|v⊥|*sin90°=|v⊥|，
那么v'⊥=sinθ*w+cosθv⊥
=sinθ*n×v+cosθ*(v-(v·n)*n)
那么v'=v'∥+v'⊥
=(v·n)*n+sinθ*n×v+cosθ*(v-(v·n)*n)
接下来就可以求各基向量绕向量n旋转θ后的表示，
X'=(X·n)*n+sinθ*n×X+cosθ*(X-(X·n)*n)
|x0^2 | | 0 | | cosθ-cosθ*x0^2 |
=|x0*y0| + |z0*sinθ | + | -cosθ*x0y0 |
|x0*z0| |-y0*sinθ | | -cosθ*x0z0 |
|x0^2*(1-cosθ)+cosθ |
= |x0y0*(1-cosθ)+z0*sinθ |
|x0z0*(1-cosθ)-y0*sinθ |，
同样，
Y'=(Y·n)*n+sinθ*n×Y+cosθ*(Y-(Y·n)*n)
|x0*y0| |-z0*sinθ | | -cosθ*x0y0 |
=|y0^2 | + | 0 | + | cosθ-cosθ*y0^2 |
|y0*z0| |x0*sinθ | | -cosθ*y0z0 |
|x0y0*(1-cosθ)-z0*sinθ |
= |y0^2*(1-cosθ)+cosθ |
|y0z0*(1-cosθ)+x0*sinθ |，
同样，
Z'=(Z·n)*n+sinθ*n×Z+cosθ*(Z-(Z·n)*n)
|x0*z0| |y0*sinθ | | -cosθ*x0z0 |
=|y0z0 | + |-x0*sinθ | + | -cosθ*y0z0 |
|z0^2 | | 0 | | cosθ -cosθ*z0^2 |
|x0z0*(1-cosθ)+y0*sinθ |
= |y0z0*(1-cosθ)-x0*sinθ |
|z0^2*(1-cosθ)+cosθ |，
然后构造矩阵，
若为矩阵乘列向量形式，矩阵为
|x0^2*(1-cosθ)+cosθ x0y0*(1-cosθ)-z0*sinθ x0z0*(1-cosθ)+y0*sinθ |
|x0y0*(1-cosθ)+z0*sinθ y0^2*(1-cosθ)+cosθ y0z0*(1-cosθ)-x0*sinθ |
|x0z0*(1-cosθ)-y0*sinθ y0z0*(1-cosθ)+x0*sinθ z0^2*(1-cosθ)+cosθ |，
若为行向量乘矩阵形式，矩阵为
|x0^2*(1-cosθ)+cosθ x0y0*(1-cosθ)+z0*sinθ x0z0*(1-cosθ)-y0*sinθ |
|x0y0*(1-cosθ)-z0*sinθ y0^2*(1-cosθ)+cosθ y0z0*(1-cosθ)+x0*sinθ |
|x0z0*(1-cosθ)+y0*sinθ y0z0*(1-cosθ)-x0*sinθ z0^2*(1-cosθ)+cosθ |，
得安装公式编辑器了=-=！