随机概率学习笔记

二维随机变量

一般，设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设X=X{e}和Y={e}是定义在S上的随机变量，由X和Y构成的向量(X,Y)叫做二维随机向量或是二维随机变量(Two-dimensional random vector)
设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x,y,二元函数：
F(x,y)=P{(X<=x)U(Y<=y)}=P(X<=x,Y<=y}
称为二维随机变量(X,Y) 的联合分布函数(Joint probability distribution)

离散与连续
如果二维随机变量(X,Y) 全部可能取到的值是有限对或是可列无限对，则称(X,Y)为离散型的二维随机变量
如果对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(x,y)，存在非负可积函数f(x,y)使得对于任意x,y 有

称(X,Y)为连续性的二维随机变量，函数f(x,y) 称为二维随机变量(X,Y)的联合概率密度(Joint probability density)

联合分布律
对于离散型的二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为(xi,yi),Ij=1,2,……,称P(X=xi,Y=yi}=pij, i,j=1,2,……. 为随机变量X和Y的联合分布率(Joint distribution law)
性质：

联合概率密度

• 联合概率密度的性质：
• 1.f(x,y)>=0
• 2.
• 3.设G是xOy平面上的区域，点(X,Y)落在G内的概率为：
• 4.若点f(x,y) 在点(x,y) 连续，则有
  例子：
  

多维随机变量

• 二维随机变量可以推广到多维的情况
• 设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},设X1=X1{e},X2={e},….,Xn={e}是定义在S上的随机变量，由Xi构成的向量(X1，X2,….Xn) 叫做多为随机变量(Multidimensional random vector)
• 对于任意的X1，X2,…..,Xn 函数F(x1,x2,…..,xn)=P(X1<=x1,X2<=x2,……Xn<=xn)称为n维随机变量的分布函数
  边缘分布
  
  边缘分布率
  设（Ｘ，Ｙ）是二维离散型随机变量，其（联合）分布律为：
  　
  则关于X的边缘分布律为：　
  
  关于Y的边缘分布律为：　
  
  

边缘概率密度
对于连续性随机变量（Ｘ，Ｙ），它的联合概率密度为ｆ（ｘ，ｙ），则关于X和关于Y的边缘概率密度如下：　

边缘分布函数与边缘概率密度的关系：
　

条件分布律
设离散二维随机变量（X，Ｙ）的分布律为：　
　　

条件概率密度

各种分布的关系