概率论与数理统计第二章 随机变量及其分布 学习总结
一、随机变量及其分布函数
（1）随机变量
定义：在样本空间Ω上的实值函数 X = X(ω),ω ∈ Ω称为随机变量，简记为X。随机变量的定义域为Ω。
（2）分布函数
定义：对于任意实数x，记函数 F(x) = P{X ≤ x}，-∞ < x < +∞，称 F(x)是随机变量X的分布函数。
分布函数的值等于随机变量X在区间 (-∞,x] 上取值的概率，即事件 “X ≤ x” 的概率。
（3）为什么要引入随机变量与分布函数？
在第一章，我们研究的是事件和概率，我们用A表示事件，用P(A)表示概率，这并不利于我们去深入研究。因为事件是一种更近似于文本化的东西，概率论属于数学的范畴，数学研究的是数字，而不是文字，为了能够将事件转化为实数值，因此引入了随机变量。故随机变量类似于一个将样本点转换为实数值的映射函数。既然事件可以用实数值来表示，那么显然事件的概率就可以用我们更加熟悉的函数来表示，因此引入了分布函数。分布函数是定义在(-∞,+∞)上的实值函数。
（4）分布函数性质
这四条性质恰是某一函数F(x)是分布函数的充分必要条件：
方便记忆，可简化为以下三条：
- F(x)单调不减.
- F(-∞) = 0,F(+∞) = 1.
- F(x)右连续.
（这三条请牢记，它是判断任一函数是否是分布函数的界定条件）
【注】 F(-∞)这种写法并不正规，这里只是方便记忆和书写，理解就好。
【注】解释一个可能存在的疑问，F(a)与F(a - 0)、F(a + 0)的区别。
F(a - 0)表示F(x)在a处的左导数，F(a + 0)表示F(x)在a处的右导数。
因此当F(x)右连续时，F(x) = F(x + 0);当F(x)左连续时，F(x) = F(x - 0);当F(x)连续时，F(x) = F(x + 0) = F(x - 0)。
综上有：
P{X ≤ x} = F(x)
P{X = x} = F(x) - F(x - 0)
P{X < x} = F(x - 0)
P{X > x} = 1 - F(x)
P{X ≥ x} = 1 - F(x - 0)
二、离散型随机变量
（1）定义
定义：如果一个随机变量的取值是有限多个或可数无穷多个，则称它为离散型随机变量。
（2）概率分布
（3）分布律性质
这两条性质也是分布律的充要条件。
（4）离散型随机变量的分布函数
三、连续型随机变量
（1）定义
如果对随机变量X的分布函数F(x),存在一个非负可积函数f(x)，使得对任意实数x，都有：
称X为连续型随机变量，函数f(x)称为X的概率密度。
（2）概率密度f(x)的性质
（3）有关概率密度的必背积分
<小结>
新的概念接触的有点多，所以这里小结一下，我觉得理解这些新概念的关键在于理清它们与第一章我们学的事件和概率之间的区别与联系。你看，第一章的标题叫做事件与概率，第二章的标题叫做随机变量及其分布。你会发现这其实是一一对应的，事件对应于随机变量，而概率对应于其分布函数。
我们引入随机变量的目的就在于希望用数学方式来解决概率问题，因为纯文字描述的事件并不适合用数学语言来解决，因此有了随机变量。随机变量也是一个函数，一个将样本点映射为实数值的映射函数。
随机变量的引入将概率与数学更紧密的连接在了一起。
为了表述清晰我手写了一个表，如下：
四、常用分布
对于常用分布，需要从以下几个角度去学习：
定义、记号、称呼、参数、背景、特点、期望、方差
#1 离散型随机变量的常用分布
（1） 0-1分布
0-1分布就是一次伯努利试验。
其中，随机变量X服从如下分布律：
且 0 < p < 1。
（2）二项分布
（3）几何分布
（4）超几何分布
（5）泊松分布
#2 连续型随机变量的常用分布
（1）均匀分布
（2）指数分布
（3）正态分布
<小结>
五、泊松定理
六、随机变量函数的分布
随机变量函数分布也分为离散型和连续型两部分，离散型直接套分布律就可以，连续型有公式法和定义法两种，但不推荐公式法。这一块儿写出来效果不好，最好是以题目作为载体来说明会比较好，因此暂时先不介绍。